Fermat pensait avoir résolu son grand théorème

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Le grand théorème de Fermat est un problème qui resta irrésolu pendant plus de 3 siècles. Pourtant, quand Pierre de Fermat émit sa conjecture (hypothèse), il marqua dans ses notes : "j'en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir". La plupart des mathématiciens pensent que Fermat avait seulement cru trouver une démonstration, car les outils permettant celle-ci n'existaient pas à son époque.


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Voici le dernier théorème de Fermat pour les curieux :
 Il n'existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que :

x^n + y^n = z^n,

dès que n est un entier strictement supérieur à 2.

À savoir que Fermat a démontré le cas pour n=4.

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Ce qui peut paraître étonnant, c'est que ce théorème a été prouvé dans les années 90 seulement. Alors que l'énoncé de ce théorème tient en une ligne et qu'il est fondamental dans de nombreuses branches de l'arithmétique.

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a écrit : J'ai vu le petit théorème de fermat en cours, est-il similaire à celui-ci Non ce sont deux théorèmes distincts. Le petit théorème s'énonce ainsi : "si p est un nombre premier et si a est un entier non divisible par p, alors a^(p–1) – 1 est un multiple de p".
Par contre là aussi Fermat n'a pas démontré son théorème. C'est Euler qui publia la première démonstration.

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Tous les commentaires (58)

J'ai vu le petit théorème de fermat en cours, est-il similaire à celui-ci

Voici le dernier théorème de Fermat pour les curieux :
 Il n'existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que :

x^n + y^n = z^n,

dès que n est un entier strictement supérieur à 2.

À savoir que Fermat a démontré le cas pour n=4.

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Ce qui peut paraître étonnant, c'est que ce théorème a été prouvé dans les années 90 seulement. Alors que l'énoncé de ce théorème tient en une ligne et qu'il est fondamental dans de nombreuses branches de l'arithmétique.

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a écrit : J'ai vu le petit théorème de fermat en cours, est-il similaire à celui-ci Non ce sont deux théorèmes distincts. Le petit théorème s'énonce ainsi : "si p est un nombre premier et si a est un entier non divisible par p, alors a^(p–1) – 1 est un multiple de p".
Par contre là aussi Fermat n'a pas démontré son théorème. C'est Euler qui publia la première démonstration.

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a écrit : Voici le dernier théorème de Fermat pour les curieux :
 Il n'existe pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que :

x^n + y^n = z^n,

dès que n est un entier strictement supérieur à 2.

À savoir que Fermat a démontré le cas pour n=4.
Suis-je le seul à n'y rien comprendre?

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C'est un peu sadique de sa part: " j'ai découvert la solution mais je ne peux pas l'écrire"

Il faut savoir que c'est Andrew Wiles qui a résolu ce théorème. Il a d'abord présenté sa réponse en 1993, mais il y avait une erreur de calcul. Il dut alors la représenter en 1995, mais il ne reçu pas la médaille Fields (une haute récompense pour un mathématicien) car il avait dépassé l'âge limite de 40 ans pour la recevoir.

Source: une anecdote SCMB ( comme quoi le site est plein de ressources)

a écrit : C'est un peu sadique de sa part: " j'ai découvert la solution mais je ne peux pas l'écrire" Ce n'est pas sadique, mais plutôt trompeur. Il n'avait surement pas découvert la démonstration.

Lisbeth Salander l'a résolu pourtant! (Pour les fans de Millenium)

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En fait Fermat faisait son petit malin : il avait pas la démonstration mais il a fait semblant de l avoir ... La prochaine fois je fais pareil à mon contrôle de Maths : "cet exercice est tellement trivial que la réponse saute aux yeux et vu que ma copie est presque terminée je n écris rien du tout" bon le prof ca me massacrer je pense mais j aurai essayer ... Après je ne dis pas que Fermat était le premier des imbéciles loin de moi cette idée.

a écrit : Suis-je le seul à n'y rien comprendre? Nan! mais c'est parce que pour ma part, quand on me parle en langage math, j'ai des poussées d'urticaire tellement ça me rappelle mes notes quand j'étais plus jeune... :-)

a écrit : Suis-je le seul à n'y rien comprendre? En gros il n'existe aucun nombre Réel entier x, y et z tel que x à la puissance n (cela revient a multiplier le nombre x n fois par lui meme) + y à la puissance n (meme principe) = z à la puissance n (toujours même principe).
Cela marche pour le cas où le nombre n est superieur a 2.
Fermat à démontré cette conjecture pour le cas où n est egal à 4.

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a écrit : Non ce sont deux théorèmes distincts. Le petit théorème s'énonce ainsi : "si p est un nombre premier et si a est un entier non divisible par p, alors a^(p–1) – 1 est un multiple de p".
Par contre là aussi Fermat n'a pas démontré son théorème. C'est Euler qui publia la première démonstration.
Pour quelle raison Fermat n'a-t-il pas démontré son petit théorème et qui a fallut attendre des dizaines d'années (Euler est né 42 ans après la mort de Fermat) alors qu'il me semble facile à démontrer…

Si a = 2 et p = 3 (2 n'est pas divisible par 3)

… alors…

2^(3-1)-1 = 2^(2)-1 = 4-1 = 3 (qui est un multiple de 3) je crois… ou je n'ai rien compris…

Merci de confirmer ou de me dire où je me plante…

a écrit : Lisbeth Salander l'a résolu pourtant! (Pour les fans de Millenium) Euh non c'est Andrew Wiles qui l'a démontré.
C'est pour cela que le Théorème est aussi nomme depuis la fin des années 1990 : Théorème de Ferma-Wiles.

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a écrit : Pour quelle raison Fermat n'a-t-il pas démontré son petit théorème et qui a fallut attendre des dizaines d'années (Euler est né 42 ans après la mort de Fermat) alors qu'il me semble facile à démontrer…

Si a = 2 et p = 3 (2 n'est pas divisible par 3)

… alors…

/> 2^(3-1)-1 = 2^(2)-1 = 4-1 = 3 (qui est un multiple de 3) je crois… ou je n'ai rien compris…

Merci de confirmer ou de me dire où je me plante…
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Ce que tu as fait n est pas une démonstration : si un contre exemple suffit à infirmer un théorème, un exemple ne suffit pas à prouver que c est vrai. Par exemple pour la fonction 1/x ou fonction inverse tu pourrais dire elle est définie partout vu que je vois qu elle est définie en 1, en 2 , en 3 ... Or c est faux . Pour démontrer un truc comme ça il faut montrer que c est vrai pour tout p et a.

On peut comprendre les choses de manière plus visuelle avec la géométrie.

On remarque que pour n=2, c'est le théorème de Pythagore avec le triangle rectangle que vous avez sûrement vu au collège.

Le cas n=3, correspondrait à l'impossibilité de mettre dans un grand cube, 2 cubes plus petits.

Voilà un peu l'idée, j'espère que ça vous aide un peu à comprendre !

a écrit : Pour quelle raison Fermat n'a-t-il pas démontré son petit théorème et qui a fallut attendre des dizaines d'années (Euler est né 42 ans après la mort de Fermat) alors qu'il me semble facile à démontrer…

Si a = 2 et p = 3 (2 n'est pas divisible par 3)

… alors…

/> 2^(3-1)-1 = 2^(2)-1 = 4-1 = 3 (qui est un multiple de 3) je crois… ou je n'ai rien compris…

Merci de confirmer ou de me dire où je me plante…
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Tu as bien compris cependant tu ne donnes pas de démonstration mais seulement un exemple.

La démonstration est relativement simple (ancien programme de terminale s spé maths) et tient dans une demie page, il est donc probable que Fermat l'ait trouvé.

Pour en revenir à ta question, à l'époque les mathématiciens avaient pour habitude de ne pas publier leurs démonstrations mais juste les théorèmes.

On a ainsi retrouvé une démonstration du petit théorème de Fermat par Leibnitz (avant Euler).

Euler est le premier à avoir publié une démonstration (ainsi qu'une démonstration du "théorème d'Euler en arithmétique" qui est une généralisation du petit théorème de Fermat)

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a écrit : Pour quelle raison Fermat n'a-t-il pas démontré son petit théorème et qui a fallut attendre des dizaines d'années (Euler est né 42 ans après la mort de Fermat) alors qu'il me semble facile à démontrer…

Si a = 2 et p = 3 (2 n'est pas divisible par 3)

… alors…

/> 2^(3-1)-1 = 2^(2)-1 = 4-1 = 3 (qui est un multiple de 3) je crois… ou je n'ai rien compris…

Merci de confirmer ou de me dire où je me plante…
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Je suis au regret de te dire que ce que tu viens de faire est tout sauf une démonstration du petit Théorème de Fermat ! Ici tu l'appliques juste à un cas précis, alors que le génie de nombreux théorèmes réside dans le fait que ça marche pour tous les nombres satisfaisant les conditions !

De plus, en raisonnant comme tu le fais actuellement tu pourrais arriver à des résultats surprenants, tels que:
J'affirme que tous les nombres impairs sont premiers puisque 3, 5 et 7 le sont !
Ce ne sont ici que des exemples et en rien un résultat général.
En effet, 9 = 3*3 n'est pas premier.

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A l'époque il était de coutume de NE PAS donner la démonstration à un théorème mathématique. Beaucoup de postulats ont été prouvé des années, décennies ou siècles plus tard.

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