Le paradoxe des deux enfants est contre-intuitif

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Les probabilités sont parfois trompeuses et le paradoxe des deux enfants en est une illustration. Ainsi, si un couple a 2 enfants dont une fille, quelle est la probabilité que l’autre enfant soit un garçon ? Certains répondront 50% (car à la naissance il y a une chance sur 2 qu’il soit d’un sexe ou de l’autre), mais la bonne réponse est de 2 sur 3 (66%).

En effet, la probabilité se définit comme le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles. Ici, les cas possibles sont FF, FG et GF (F pour fille et G pour garçon). Le cas GG (2 garçons) est exclu puisqu’on sait qu’il y a au moins une fille. Il y a donc 2 combinaisons sur 3 avec un garçon.


Commentaires préférés (3)

Exemple du paradoxe de Monty Hall.
Pour ceux qui ne comprennent pas trop les statistiques, je vous invite à jeter un oeil sur le net le calcul est systématique et assez simple à comprendre quand on regarde.
Je rajouterai juste ici que la probabilité n'est pas de 66% pour avoir un garçon, mais bien d'avoir une fille et un garçon. Évidemment pour chaque grossesse séparément il y a bel et bien 50% de chances d'avoir l'un ou l'autre. Ça pourrait porter à confusion si certains ne comprennent pas la tournure de l'énoncé :)

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En gros au départ on a :
50% de chance d'avoir une fille, puis sur la deuxième grossesse 50% de chance d'avoir une fille et 50% de chance d'avoir un garçon
50% de chance d'avoir un garcon, puis sur la seconde grossesse 50% de chance d'avoir une fille et 50% de chance d'avoir un garçon.

Ainsi on voit bien comme dit dans le complément que sur les 4 possibilités (FF, FG, GF et GG) qu'il y a 2 possibilités d'avoir une fille et un garçon au départ, 1 possibilité d'avoir deux filles et 1 possibilité d'avoir deux garçons, cette dernière étant exclue d'entrée par le fait qu'il y ait une fille.

Avec cet énoncé on a donc bien 2 chances sur 3 d'avoir une fille et un garçon a la fin.

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C'est une idée assez similaire qui est utilisée pour le "jeu" théorique où l'on a trois portes, une cachant un prix, les autres rien du tout.

On donne au joueur le droit de choisir une porte et on lui révèle une mauvaise porte parmis celles qu'il n'a pas choisi. À ce moment on lui donne le droit de soit garder le même choix de porte ou de changer pour l'autre porte qui n'a pas été révélée.

Il s'avère qu'a chaque fois, il faut toujours changer son "choix" de porte, car la probabilité que l'autre porte soit la bonne n'est pas 50% mais 66%.

L'idée vient du fait que lors du premier choix, on a 66% de chance de une des autres porte contient le prix (car il y a 3 portes). Lorsque l'on révèle une mauvaise porte (parmis les 2 que l'on a pas choisi) cette probabilité ne change pas, il vaut mieux donc changer de porte.

Désolé pour le hors sujet, ce petit example de probabilité m'avait passionné en cours.


Tous les commentaires (138)

mouais.. cest du langage statistiqur mais au final il y a bien une chance sur deux d avoir un garcon !

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Exemple du paradoxe de Monty Hall.
Pour ceux qui ne comprennent pas trop les statistiques, je vous invite à jeter un oeil sur le net le calcul est systématique et assez simple à comprendre quand on regarde.
Je rajouterai juste ici que la probabilité n'est pas de 66% pour avoir un garçon, mais bien d'avoir une fille et un garçon. Évidemment pour chaque grossesse séparément il y a bel et bien 50% de chances d'avoir l'un ou l'autre. Ça pourrait porter à confusion si certains ne comprennent pas la tournure de l'énoncé :)

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En gros au départ on a :
50% de chance d'avoir une fille, puis sur la deuxième grossesse 50% de chance d'avoir une fille et 50% de chance d'avoir un garçon
50% de chance d'avoir un garcon, puis sur la seconde grossesse 50% de chance d'avoir une fille et 50% de chance d'avoir un garçon.

Ainsi on voit bien comme dit dans le complément que sur les 4 possibilités (FF, FG, GF et GG) qu'il y a 2 possibilités d'avoir une fille et un garçon au départ, 1 possibilité d'avoir deux filles et 1 possibilité d'avoir deux garçons, cette dernière étant exclue d'entrée par le fait qu'il y ait une fille.

Avec cet énoncé on a donc bien 2 chances sur 3 d'avoir une fille et un garçon a la fin.

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Ça peut être FF, GG, FG, GF.... Mais aussi FA, GA, AF, AG ("A"pour asexué)...

a écrit : Exemple du paradoxe de Monty Hall.
Pour ceux qui ne comprennent pas trop les statistiques, je vous invite à jeter un oeil sur le net le calcul est systématique et assez simple à comprendre quand on regarde.
Je rajouterai juste ici que la probabilité n'est pas de 66% pour avoir un garçon, mais bien d�
39;avoir une fille et un garçon. Évidemment pour chaque grossesse séparément il y a bel et bien 50% de chances d'avoir l'un ou l'autre. Ça pourrait porter à confusion si certains ne comprennent pas la tournure de l'énoncé :) Afficher tout
La maman peut avoir aussi à la naissance des jumeaux ou jumelles ou encore des faux jumeaux filles/ garçon.

Je crois que l’auteur de l’anecdote ne sait pas ce que sont des tirages indépendants en statistiques...

C'est une idée assez similaire qui est utilisée pour le "jeu" théorique où l'on a trois portes, une cachant un prix, les autres rien du tout.

On donne au joueur le droit de choisir une porte et on lui révèle une mauvaise porte parmis celles qu'il n'a pas choisi. À ce moment on lui donne le droit de soit garder le même choix de porte ou de changer pour l'autre porte qui n'a pas été révélée.

Il s'avère qu'a chaque fois, il faut toujours changer son "choix" de porte, car la probabilité que l'autre porte soit la bonne n'est pas 50% mais 66%.

L'idée vient du fait que lors du premier choix, on a 66% de chance de une des autres porte contient le prix (car il y a 3 portes). Lorsque l'on révèle une mauvaise porte (parmis les 2 que l'on a pas choisi) cette probabilité ne change pas, il vaut mieux donc changer de porte.

Désolé pour le hors sujet, ce petit example de probabilité m'avait passionné en cours.

"FF, FG et GF (F pour fille et G pour garçon). Le cas GG (2 garçons) est exclu puisqu’on sait qu’il y a au moins une fille."
Dans ce cas là, pourquoi n'exclue t-on pas également le cas GF puisqu'on sait que le premier enfant est une fille ? Pour le coup ca ferait donc bien 50 %....

Catastrophe cette anecdote. C’est totalement faux car l’énoncé est mal écrit. A corriger

a écrit : Ça peut être FF, GG, FG, GF.... Mais aussi FA, GA, AF, AG ("A"pour asexué)... Auxquels il ne faut pas oublier d'ajouter TG, TG, TG et TG (TG pour Transgenre)

Personnellement je n’adhère pas, dans l’énoncé il n’est à aucun moment précisé que l’ordre importe, GF et FG sont donc la même proba, ce qui ramène à 50%.

a écrit : mouais.. cest du langage statistiqur mais au final il y a bien une chance sur deux d avoir un garcon ! Tout à fait, si j'ai bien compris. Ce n'est donc pas la probabilité qui est peu intuitive (au contraire, avec un peu de réflexion et d'entraînement, on arrive à une bonne intuition, comme dans beaucoup de jeu, comme le poker), mais plutôt le langage des probabilités et la façon de l'exprimer.
D'ailleurs, il est facile de jouer sur les chiffres sans énoncer le contexte. La probabilité est calculée à quel moment (avant ou après la naissance du premier). En jouant sur l'absurdité des chiffres, il y a aussi la probabilité que l'un des parents ne soit pas le même, devienne stérile, mort..., que ce soit des jumeaux, qu'il meurt à la naissance (si on parle de l'Antiquité ou ce taux n'était pas négligeable...). Bref la magie des stats est de pouvoir leur faire dire n'importe quoi.

a écrit : "FF, FG et GF (F pour fille et G pour garçon). Le cas GG (2 garçons) est exclu puisqu’on sait qu’il y a au moins une fille."
Dans ce cas là, pourquoi n'exclue t-on pas également le cas GF puisqu'on sait que le premier enfant est une fille ? Pour le coup ca ferait donc bien 50 %....
En fait, dans l’énoncé on dit juste « un couple avec deux enfants dont une fille » sans préciser si c’est l’ainée ou non. On peut donc avoir GF et FG.

Mais FG et GF sont :
Soit les mêmes, si on ne tient pas compte de l'ordre d'arrivée ;
Soit différents si on tient compte de l'ordre d'arrivée, et à ce moment-là, on peut eliminer GF puisque le 1er est ine fille...
Edit : j'avais pas encore lu les commentaires, je viens de voir que 2 personnes ont chacune formulé une partie de ce que j'ai dit ! Mea culpa du coup !

Ces matheux, toujours à se prendre la tête pour n'importe quoi. À force de théoriser vous passez à côté de l'essentiel, "un enfant c'est un rayon de soleil dans une maison" M. Pagnol.
Fille ou garçon, peu importe.

Une petite dernière pour finir l'année ?

"Les statistiques, c'est pour ceux qui manquent d'imagination"

Bonne année 2018 à tout les lecteurs de SCMB.

Votre énoncé est mal posé, si vous reprenez votre lien Wikipedia vous remarquerez que votre question est différente et quelle peut emmener au résultat 1/2

a écrit : Exemple du paradoxe de Monty Hall.
Pour ceux qui ne comprennent pas trop les statistiques, je vous invite à jeter un oeil sur le net le calcul est systématique et assez simple à comprendre quand on regarde.
Je rajouterai juste ici que la probabilité n'est pas de 66% pour avoir un garçon, mais bien d�
39;avoir une fille et un garçon. Évidemment pour chaque grossesse séparément il y a bel et bien 50% de chances d'avoir l'un ou l'autre. Ça pourrait porter à confusion si certains ne comprennent pas la tournure de l'énoncé :) Afficher tout
Mais c'est complètement faux. Les chances d'avoir une fille sont plus élevées pour chaque grossesse individuelle...

a écrit : Mais c'est complètement faux. Les chances d'avoir une fille sont plus élevées pour chaque grossesse individuelle... Comment ça ? Il y a bien toujours 50% de chance d'avoir l'un ou l'autre. Ça ne dépend que duquel du chromosome X ou Y du père est présent dans le spermatozoïde qui féconde l'ovule qui lui est forcément X.

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Je suis pas d'accord. La probabilité est fausse dans l'exemple. Il est stipulé que GG est impossible car ils ont une fille. Donc on peut uniquement avoir FG FF. GF est exclu, vu qu'ils ont une fille !

Je trouve l'énoncé du problème intellectuellement malhonnête. Il joue sur des notions qui sont floues pour la plupart des gens, notamment entre la notion de probabilité et la notion de fréquence d'occurrence d'un événement. Il y a une chance sur deux que le deuxième enfant soit un garçon mais la probabilité que ce soit un garçon est de 66% (dans les conditions du problème).
D'ailleurs les probabilités n'ont de valeurs que sur les grandes séries...

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