Le paradoxe de la tortue donne mal à la tête

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Le paradoxe de la tortue posa un vrai problème aux savants de la Grèce Antique. Il énonce que si Achille faisait la course avec une tortue en lui laissant 100m d'avance, il ne la rattraperait jamais : pendant qu'il parcourt les 100m, la tortue avance de 1m, et pendant qu'il rattrape les 1m, elle avance de 1cm etc. Ce paradoxe, avancé par Zénon, fut résolu grâce aux mathématiques modernes.


Commentaires préférés (3)

Quelques années en arrière, je ne connaissais ce paradoxe que sous la version BD de Kid Paddle.

Pour ceux qui ne connaissent pas, c'est un gosse aimant faire des bêtises. En l’occurrence, il démontrait pourquoi il ne pouvait pas avoir tiré une fléchettes à ventouse sur le principal de l'école car la fléchette ne pouvait jamais arriver à destination. Elle faisait d'abord 1/2 du chemin, puis 1/4, puis 1/8, puis 1/16, etc. indéfiniment.

a écrit : Donc les grecs avaient des Thalès, des Pythagore... qui pondaient des théorèmes pas possibles, mais ils arrivaient pas à résoudre un paradoxe tout bidon Ils n'ont pas pu résoudre le paradoxe car ils n'avaient pas les outils mathématiques nécessaires.
La solution a été trouvée grâce à la "découverte" de l'infini mathématique (notion n'existant pas dans l'Antiquité).


En effet, si on séquence la course en étapes, on obtient : Achille parcourt 100 mètres pour rattraper la tortue, elle en parcourt 10 mètres (étape 1), Achille parcourt 10 mètres pour rattraper la tortue, elle en parcourt 1mètre (étape 2), Achille parcourt 1 mètre pour rattraper la tortue, elle en parcourt 0,1 mètre (étape 3), etc

Cette suite d'étapes donne une série mathématique = 100 + 10 + 0,1 + ... qui correspond à la distance parcouru par Achille pour rattraper la tortue à chaque étape. Cette série est une série dite géométrique et quand on la tend vers l'infini (càd quand fait tendre le nombre d'étapes vers l'infini), on obtient un résultat pourtant fini correspondant à la distance qu'Achille aura parcouru pour être au même endroit que la tortue.

Pour mieux visualiser, la série est ainsi S=étape 1 + étape 2+ étape 3 + ...
S = 100 + 10 + 0,1 + ...

Quand le nombre d'étapes en tendu vers l'infini, on a 100 + 10 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... etc etc. Jusqu'à des nombres très petits mais le fait de pouvoir tendre vers l'infini, rend tout de même le résultat fini. C'est écrit dans la source plus mathématiquement

C'est assez drôle ces paradoxes mathématiques. Tiens en voilà un autre :
3 amis vont diner, l'addition est de 30€. Chacun donne 10€, mais le serveur revient en disant qu'il ya une erreur et que l'addition n'est de 25€ ; il leur rend donc 5 pièces de 1€. Les clients reprennent chacun 1€ et laissent 2 € de pourboire au serveur.
Chacun des trois clients a donc payé 9€ (27€ au total) ; le serveur a pris 2€ de pourboire... 27 + 2 = 29 ; où est donc passé le dernier €uro ?


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a écrit : Et sa solution est...? Ouvre la source qui contient tout ce qu'il te faut !

« Rien ne sert de courir ; il faut partir à point. »
Dixit J.de la Fontaine dans sa fable : le lièvre et la tortue

Quelques années en arrière, je ne connaissais ce paradoxe que sous la version BD de Kid Paddle.

Pour ceux qui ne connaissent pas, c'est un gosse aimant faire des bêtises. En l’occurrence, il démontrait pourquoi il ne pouvait pas avoir tiré une fléchettes à ventouse sur le principal de l'école car la fléchette ne pouvait jamais arriver à destination. Elle faisait d'abord 1/2 du chemin, puis 1/4, puis 1/8, puis 1/16, etc. indéfiniment.

Donc les grecs avaient des Thalès, des Pythagore... qui pondaient des théorèmes pas possibles, mais ils arrivaient pas à résoudre un paradoxe tout bidon

a écrit : Donc les grecs avaient des Thalès, des Pythagore... qui pondaient des théorèmes pas possibles, mais ils arrivaient pas à résoudre un paradoxe tout bidon Thales n'a rien inventé et Pythagore tu peux pas plus basique-_-

Je n’ai jamais compris l’origine de ces paradoxes dans le sens où ce n’est pas paradoxal par rapport au bon sens.

a écrit : Je n’ai jamais compris l’origine de ces paradoxes dans le sens où ce n’est pas paradoxal par rapport au bon sens. C'est un peu se compliquer mais il est dur de concevoir qu'une suite peut avoir un nombre fini comme la suite 1/2 + 1/4... Mais si tu lances un objet rebondissant, il va peut être faire 1 mètre pendant le premier rebond, puis un demi mètre au second... Et il s'arrête donc la somme de ta suite est fini.

a écrit : Donc les grecs avaient des Thalès, des Pythagore... qui pondaient des théorèmes pas possibles, mais ils arrivaient pas à résoudre un paradoxe tout bidon Ils n'ont pas pu résoudre le paradoxe car ils n'avaient pas les outils mathématiques nécessaires.
La solution a été trouvée grâce à la "découverte" de l'infini mathématique (notion n'existant pas dans l'Antiquité).


En effet, si on séquence la course en étapes, on obtient : Achille parcourt 100 mètres pour rattraper la tortue, elle en parcourt 10 mètres (étape 1), Achille parcourt 10 mètres pour rattraper la tortue, elle en parcourt 1mètre (étape 2), Achille parcourt 1 mètre pour rattraper la tortue, elle en parcourt 0,1 mètre (étape 3), etc

Cette suite d'étapes donne une série mathématique = 100 + 10 + 0,1 + ... qui correspond à la distance parcouru par Achille pour rattraper la tortue à chaque étape. Cette série est une série dite géométrique et quand on la tend vers l'infini (càd quand fait tendre le nombre d'étapes vers l'infini), on obtient un résultat pourtant fini correspondant à la distance qu'Achille aura parcouru pour être au même endroit que la tortue.

Pour mieux visualiser, la série est ainsi S=étape 1 + étape 2+ étape 3 + ...
S = 100 + 10 + 0,1 + ...

Quand le nombre d'étapes en tendu vers l'infini, on a 100 + 10 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... etc etc. Jusqu'à des nombres très petits mais le fait de pouvoir tendre vers l'infini, rend tout de même le résultat fini. C'est écrit dans la source plus mathématiquement

C'est assez drôle ces paradoxes mathématiques. Tiens en voilà un autre :
3 amis vont diner, l'addition est de 30€. Chacun donne 10€, mais le serveur revient en disant qu'il ya une erreur et que l'addition n'est de 25€ ; il leur rend donc 5 pièces de 1€. Les clients reprennent chacun 1€ et laissent 2 € de pourboire au serveur.
Chacun des trois clients a donc payé 9€ (27€ au total) ; le serveur a pris 2€ de pourboire... 27 + 2 = 29 ; où est donc passé le dernier €uro ?

Mes excuses d'avance si je ne suis pas très clair mais croyez bien que j'ai essayé !

Au sujet de ce paradoxe, j'ai toujours en tête la réponse du philosophe du XIXe et XXe siècle Henri Bergson.

Pour lui ce paradoxe est faussé dans le sens où Achille rattrapera évidemment la tortue si vous organisez réellement la course. La question est donc plutôt de savoir si, dans cette expérience de pensée, les savant grecs avaient le "droit" de diviser le temps de la course en un nombre infini, et de plus en plus petit, d'intervalles. C'est cette division à l'infini qui induit le paradoxe.

Pour lui la réponse est non. Il faut distinguer d'abord le temps mathématique, que l'on représente sur les graphiques, que l'on divise comme on l'entend et qui intervient dans nos calculs et nos modèles. Ensuite le temps "réel", qu'il nomme "durée", celui que nous vivons au quotidien et qui seul représente la réalité des choses. L'erreur serrait de prendre l'un pour l'autre.

Source : Essai sur les données immédiates de la conscience, et plus largement toute l'œuvre de Henri Bergson.

a écrit : C'est assez drôle ces paradoxes mathématiques. Tiens en voilà un autre :
3 amis vont diner, l'addition est de 30€. Chacun donne 10€, mais le serveur revient en disant qu'il ya une erreur et que l'addition n'est de 25€ ; il leur rend donc 5 pièces de 1€. Les clients reprennent chacun 1€ et
laissent 2 € de pourboire au serveur.
Chacun des trois clients a donc payé 9€ (27€ au total) ; le serveur a pris 2€ de pourboire... 27 + 2 = 29 ; où est donc passé le dernier €uro ?
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Si le serveur a "pris" 2 € de pourboire, ne faudrait il pas faire 27 - 2 ce qui donne bien les 25 € qu'il fallait payer ? :)

a écrit : C'est assez drôle ces paradoxes mathématiques. Tiens en voilà un autre :
3 amis vont diner, l'addition est de 30€. Chacun donne 10€, mais le serveur revient en disant qu'il ya une erreur et que l'addition n'est de 25€ ; il leur rend donc 5 pièces de 1€. Les clients reprennent chacun 1€ et
laissent 2 € de pourboire au serveur.
Chacun des trois clients a donc payé 9€ (27€ au total) ; le serveur a pris 2€ de pourboire... 27 + 2 = 29 ; où est donc passé le dernier €uro ?
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25 + 2 de pourboires + 3 rendu au client on a bien 30€

Avec le bon produit dans le sang... bien évidemment Achille rattrape la tortue !

Les mathématiques sont souvent logique, mais peu réaliste. Là il suffisais qu'Achille tende le bras vers les 101m pour rattrapé la tortue.
Autre exemple:
- un maçon mets 260 jours à construire une maison. Donc 260 maçons mettrons 1 jour à construire la même maison.

a écrit : Donc les grecs avaient des Thalès, des Pythagore... qui pondaient des théorèmes pas possibles, mais ils arrivaient pas à résoudre un paradoxe tout bidon C'est toujours bidon/ évident après coup... Si ça se trouve, des soucis actuels sur lesquels on se casse la tête paraîtront triviaux pour nos descendants...
("Lol ils ont même pas pensé à ça pour le cancer, P= NP ou le conflit israélo-palestinien?! Quels arriérés ces ancêtres! "

a écrit : C'est assez drôle ces paradoxes mathématiques. Tiens en voilà un autre :
3 amis vont diner, l'addition est de 30€. Chacun donne 10€, mais le serveur revient en disant qu'il ya une erreur et que l'addition n'est de 25€ ; il leur rend donc 5 pièces de 1€. Les clients reprennent chacun 1€ et
laissent 2 € de pourboire au serveur.
Chacun des trois clients a donc payé 9€ (27€ au total) ; le serveur a pris 2€ de pourboire... 27 + 2 = 29 ; où est donc passé le dernier €uro ?
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Il y en a un qui paiera 10€ et les 2 autres 9€ comme 5 n'est pas un multiple de 3. Quand le serveur rend 5 €, il y en a un qui aurait payé 9€ et les 2 autres 8€ ce qui donne bien 15€ et si on ajoute les 1 € rendu à chacun ça fait 10€ et 9x2€ + les 2€ de pourboire c'est égal à 30€.

a écrit : C'est assez drôle ces paradoxes mathématiques. Tiens en voilà un autre :
3 amis vont diner, l'addition est de 30€. Chacun donne 10€, mais le serveur revient en disant qu'il ya une erreur et que l'addition n'est de 25€ ; il leur rend donc 5 pièces de 1€. Les clients reprennent chacun 1€ et
laissent 2 € de pourboire au serveur.
Chacun des trois clients a donc payé 9€ (27€ au total) ; le serveur a pris 2€ de pourboire... 27 + 2 = 29 ; où est donc passé le dernier €uro ?
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Comme l'ont remarqués d'autres avant moi tu te trompe: les trois clients ont bien payés 9€ chacuns, soit 25€+2€ de pourboire, donc 27€ et il leur reste 1€ chacun.

J'ai lu l'autre réponse et il me semble que les deux sont correctes, elles diffèrent seulement dans le point de vue adopté.

Si on considère uniquement les dépenses à la fin, chaque client a donné 9 €, le serveur en a pris 2, 27 - 2 = 25 ce qui était bien le prix à payer.

Si l'on se place maintenant du point de vue de tout l'argent disponible, les clients ont payé leur 25 € d'addition, le serveur a empoché 2 € et il reste 1 € a chaque client, ce qui donne bien 30 €.

Un problème, deux approches différentes ;)