Les paradoxes de Zénon soutiennent que la réalité est unique et immuable et que le mouvement, le temps ou les grandeurs ne seraient que des illusions. Bien qu'ils semblent absurdes et réfutables, ces paradoxes n'ont pu être mathématiquement résolus qu'au XVIIe siècle, 2500 ans après leur énoncé !
Un des paradoxes est celui de la dichotomie affirmant que le mouvement est impossible, car avant que l'objet en mouvement ne puisse atteindre sa destination, il doit d'abord atteindre la moitié de son parcours, mais avant d'en atteindre la moitié, il doit d'abord en atteindre le quart, mais il lui faut d'abord en atteindre le huitième, etc. Ainsi le mouvement ne peut même jamais commencer.
Commentaires préférés (3)
Grâce à cette anecdote, en plus de me coucher moins bête, je ne vais plus me lever pour aller travailler, à quoi bon ...
Avant de comprendre l'anecdote, il va falloir que je prenne un doliprane, mais avant de prendre le doliprane, je vais faire un schéma pour tenter de comprendre...
C'est ce qui fait que le lièvre n'est pas censé rattraper la tortue (en réalité c'est tout à fait possible, on est d'accord ^^) : pendant que le lièvre parcours la distance nécessaire pour atteindre la tortue, celle-ci parcours une distance non nulle que le lièvre devra parcourir ensuite, et ce pendant que la tortue aura encore avancé, et ainsi de suite jusqu'à ce que les distances soient infiniment petites. Et donc théoriquement avec ce point de vue là, le lièvre ne peut pas rattraper la tortue... Voilà, c'est un exemple assez explicite que l'on m'a donné pour comprendre ce principe :)
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Grâce à cette anecdote, en plus de me coucher moins bête, je ne vais plus me lever pour aller travailler, à quoi bon ...
Bergson s'est ridiculisé en tentant d'expliquer le paradoxe d'Achille et la tortue à grand renfort de concepts philosophiques, alors que tout repose sur une confusion de séries convergente et divergente, notion tout à fait élucidée par les mathématiciens des siècles auparavant.
Une bonne indroduction est (en anglais, mais sans terme technique) est:
en.wikipedia.org/wiki/Convergent_series
Tout a commencé avec la contradiction entre deux écritures différentes de la même chose:
S = (1-1)+(1-1)+....= 0
S = 1+(-1+1)+(-1+1)+...= 1
Ce sont les découvertes mathématiques sur les séries tendant vers l'infini qui ont permis de contrecarrer ces fameux paradoxes :)
Avant de comprendre l'anecdote, il va falloir que je prenne un doliprane, mais avant de prendre le doliprane, je vais faire un schéma pour tenter de comprendre...
Est-ce que je me coucherai moins bête, car pour aller me coucher, il faut que je me déplace !?
Et avant de faire un schema prend un doliprane ?
C'est ce qui fait que le lièvre n'est pas censé rattraper la tortue (en réalité c'est tout à fait possible, on est d'accord ^^) : pendant que le lièvre parcours la distance nécessaire pour atteindre la tortue, celle-ci parcours une distance non nulle que le lièvre devra parcourir ensuite, et ce pendant que la tortue aura encore avancé, et ainsi de suite jusqu'à ce que les distances soient infiniment petites. Et donc théoriquement avec ce point de vue là, le lièvre ne peut pas rattraper la tortue... Voilà, c'est un exemple assez explicite que l'on m'a donné pour comprendre ce principe :)
Est ce que le fait que ces paradoxes sont supposés être résolus dans les années 2000 tout en étant resolus au XVIIe siècle est normal? Ou est ce encore un parodoxe?
Tout comme la flèche de Zénon: avec la découverte de l'analyse par Leibniz (que Newton a voulu s'attribuer, mais il n'avait que des idées vagues), il devenait évident que dire que pendant un temps infiniment petit, la flèche se déplace infiniment peu, ce n'était pas le sujet de se prendre la tête entre deux mains.
Je me trompe peut être mais si on part du principe que quand la tortue parcours 10 cm le lièvre parcourt 1 m si les deux sont a une distance de 4 mètres au bout du 4eme pas le lièvre sera a l'ancienne position de la tortue... La tortue ayant fait 40 cm pour 4 pas
On peut dire que le lièvre sera a 40cm de la tortue. Au 5e pas de la tortue, si elle fait 10cm ; elle sera donc a 50 cm du lievre, et son 5e pas a lui lui fera rattraper la tortue puisqu'il sera 50cm devant la tortue ; il lui suffirait donc que 4,5 pas pour rattraper la tortue si elle en fait 5 et 5pas pour la dépasser de 50 cm....
Si quelqu'un peut confirmer ou réfuter ce que je viens de dire... Merci ^^
upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/66/Zeno_Achilles_Paradox.png
Peut-être que cette image t'aidera à comprendre le paradoxe (juste que sur l'image le lièvre c'est Achille) :)
N'hésite pas à lire la première source, plus particulièrement le cas d'Achille et la tortue qui est bien expliqué, et où le paradoxe est réfuté ;)
Le truc consiste à faire croire que les protagonistes avancent par fractions de 1/2, 1/3, 1/4 ... du trajet. S'ils faisaient comme ça cela prendrait effectivement un temps infini car celle somme diverge. Mais ce n'est pas du tout comme ça qu'ils progressent, c'est pas à pas, distance finie (et non tendant à être infiniment petite) en un temps fini.
S=1-1+1-1+...
S= 1-1+1-...
2S=1
S=1/2
Juste un détail: il aurait fallu écrire la deuxième suite suite 0+1-1 .... et préciser que l'on additionne terme à terme.
Je vais tâcher de faire comprendre ça à mon inspecteur des impôts, qu'en décalant mes revenus et dépenses déductibles, ça ne change rien et que finalement je ne gagne pas un centime dans l'année.
Merde. Je comprends encore moins
NB: je voulais dire par mon commentaire que les 2500 ans sont inexacts.
Une des premières "réfutations " aurait été proposée par Diogène le Cynique qui se serait contenté de marcher.
Pour qu'Achille rattrappe la tortue, encore aurait-il fallut qu'il parte dans la même direction :D
D'ailleurs le paradoxe de dichotomie est levé mathématiquement grâce au calcul de series. La somme 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16... jusqu'à l'infini est égale à 1. Autrement, la somme de n=1 jusqu'à l'infini des 1/(2^n) est égale à 1. Donc on parcourera dans tous les cas (bien que c'est naturel) une distance de longueur 1.
On peut vérifier ça avec un carré de côté 1 dont l'aire est égal à 1x1. Même en coupant successivement une moitié du carré en moitié encore jusqu'à l'infini, l'aire reste égal à 1x1.
Si 1=1 et que 1x1=1... Quelque soit 1, il sera égal à 1
donc si 36km=1 mais que 26 secondes = 1, alors 26 secondes = 36 km ?
oO'