Les paradoxes de Zénon soutiennent que la réalité est unique et immuable et que le mouvement, le temps ou les grandeurs ne seraient que des illusions. Bien qu'ils semblent absurdes et réfutables, ces paradoxes n'ont pu être mathématiquement résolus qu'au XVIIe siècle, 2500 ans après leur énoncé !
Un des paradoxes est celui de la dichotomie affirmant que le mouvement est impossible, car avant que l'objet en mouvement ne puisse atteindre sa destination, il doit d'abord atteindre la moitié de son parcours, mais avant d'en atteindre la moitié, il doit d'abord en atteindre le quart, mais il lui faut d'abord en atteindre le huitième, etc. Ainsi le mouvement ne peut même jamais commencer.
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Bergson a passé le concours général de maths en 1877; je n'ai pas pu voir le sujet, il faudrait aller à Paris aux Archives Nationales, ni le programme des lycées à l'époque.
Je parierais qu'il n'y avait que géométrie et algèbre, cela n'a rien à voir avec l'analyse.
Ce que je lui reproche vivement, c'est d'avoir pensé en littéraire (dont le poids était très lourd à l'époque, le latin était obligatoire même pour ceux qui voulaient faire des sciences), et pas reconnu que c'était un problème mathématique. S'il avait été voir un collègue compétent, il se serait épargné des pages regrettables.
Je pense que chacun pensera comme moi après avoir lu:
sites.google.com/site/philonewton/articles/divers/bergson-et-le-paradoxe-d-achille-et-la-tortue
Mais ce n'est absolument pas une attaque! Je le trouve très drôle au contraire.
Mon expression "se payer la tête" n'est pas du tout péjorative, j'aurais la même pour un magicien qui fait un tour d'un air très sérieux. Et il est bien évident que dans ses "démonstrations", il fait du pas à pas pour que le monde puisse suivre - c'est un artiste!
Ou comment les postulats de ce paradoxe ne peuvent être crédibles car avant de l'être ils devraient ne l'être qu'à moitié, mais avant qu'au quart... bref pas du tout. CQFD
Je ne me serais jamais permis de dire que c'est Leibniz et non Newton qui a découvert le calcul différentiel-intégral si je n'en avais eu la preuve. En effet, depuis que Newton a fait reconnaître par la Royal Academy qu'il en était le père (à l'unanimité, mais devinez qui en était le président ...), c'est la vérité dans le monde anglo-saxon, et probablement en France aussi, à cause de Voltaire, qui idolâtrait l'un et détestait l'autre (cf. les attaques sur des citations tronquées dans Candide).
Qu'il ait eu dispute m'a intrigué, et j'aime bien connaître la génèse des découvertes, c'est très instructif.
J'ai donc lu les deux textes d'origine. Newton est très confus, il rôde autour mais sans aboutir. Leibniz est limpide, on pourrait prendre son livre et l'enseigner tel quel aujourd'hui - du moins la notion de dérivation, celle d'intégrale s'est raffinée.
Merci !!! Enfin un commentaire clair !!! Bon, faut dire qu'à minuit passé, aussi ..... Je relirais demain !!
:-D !!
Par ailleurs sais tu que en réalitée le résultat est 1/2 ?
Cela me fait aussi pensais au résultat fou mais démontré que:
S=1+2+3+4+5.... =-1/12
Et sinon, çà se passe comment au bord d'un trou noir?..
Je sais pas vous, mais quand j'ai essayé de me représenter ce lièvre qui n'arrive pas à rattraper cette tortue, j'ai tout de suite eu cette image où tout ralenti à l'infini...
Non, c'est bien 1. Un résultat élémentaire (progression géométrique) est que:
(sum 1/2^i i=0 to n) = (2-2^-n) (notation Wolfram, qui doit être intuitive).
Sous cette seconde forme, il n'y aucun problème de convergence pour passer à
n--> infinite, donnant la limite 2.
Mais Angelcommente est parti du second terme; son résultat, 1 (en passant sur la faute de frappe évidente) est bien correct.
Pour faire comprendre que l'addition n'a jamais été définie que pour deux termes, et que l'on ne peut itérer sans précaution qu'un nombre fini de fois, on peut prendre l'exemple suivant.
Je te donne un sac de sable dont la masse est disons 20 kg.
-"Tu peux le porter facilement?" -"Oui."
-"Si j'ajoute un grain de sable, cela ne fera aucune différence sensible?"-"Non".
-"Tu admets bien que si tu peux porter un certain sac de sable, ajouter un seul grain ne t'empêchera pas de le porter aussi?"-"Oui"
Eh bien allons-y .... (il n'y aura même pas besoin d'aller à l'infini) ...
Le résultat 1+2+3+ ... n'est pas démontré, car l'addition a été utilisée non pas un nombre fini de fois (itération), ce qui est correct, mais un nombre infini (récursion), ce qui est illégitime donc incorrect sauf si certaines précautions sont prises.
D'accord, autant pour moi, j'avais mal compris :).
L'univers est généralement dit fini mais non borné.
C'etait l'objet d'un gag dans kid paddle. Il justifiait par ce théorème qu'il n'avait pas pu tirer une flechete sur son prof car il serait mort avant que le projectile atteigne la cible.
Heu je veux bien que tu me dises le domaine dans lequel l'utilisation de ces séries apparît, pcq je reste assez serein quant à la véracité (ou plutôt sa non véracité) de ce résultat, ne serait-ce que la première : tu additionnes des termes tous positifs, comment veux-tu obtenir un résultat négatif?? Le fait est qu'Euler n'a pas formalisé les séries qu'il a introduites et il a fait des manipulations qu'il ne pouvait pas faire. En particulier, il a regroupé des termes de signes différents alors que ceci ne peut pas se faire sans des conditions en plus, et le théorème basique qu'on apprend en premier sur les séries est qu'une série dont le terme général ne tend pas vers 0 diverge (ie n'a pas de valeur finie)...
Tout à fait ! On dit d'ailleurs de cette série qu'elle diverge grossièrement !
Ce qui m'inquiète surtout, c'est que la plupart des commentateurs ont loupés le paradoxe... Non le paradoxe n'a jamais été brisé mathématiquement...
Lorsque vous faites vos démonstrations, vous prouvez juste par une AUTRE méthode que dans la réalité, le lièvre atteindra bien la tortue. C'est tout. Par contre vous n'avez aucunement brisé le paradoxe de Zénon... Juste prouvé que la conclusion était erronée. De même en disant qu'on marche comme ci ou comme ca, cela ne brise pas le paradoxe.
Le paradoxe tient dans l'hypothèse qui est purement littéraire et ne peut pas être contré avec une logique mathématique. Pour le briser il faut expliquer que l'expression du paradoxe utilise deux notions qu'il sépare et qui ne devraient pas l'être (espace et temps). A partir de ce moment, on peut rompre le "donc" du paradoxe.
Petit rappel ; un paradoxe ne peut être rompu qu'en expliquant ou est la faille dans l'énoncé, en aucun cas en utilisant une méthode sans rapport
parceque tu ne raisonne que dans R. Dans un ensemble cyclique (d'Euler par exemple) tu obtient bien du négatif en addtionant du positif. Cela tombe bien, cela rentre dans les équations expliquant la probabilité de présence de l'électron a un point donné. Par contre, ce n'est qu'un résultat de sous calcul et donc sans "réalité physique :-)
je ne suis pas d'accord. L'addition étant définie comme l'ensemble des opérations de succession d'un nombre donné, il n'y a aucun soucis à le faire un nombre infini de fois. Ce qui pose problème est la logique humaine dans la facon de prendre les successeurs et donc comme tu le dis, cela nécessite des précautions infinies pour ne pas tomber dans ce qui SEMBLE évident :-)
Quand au grain de sable, c'est là aussi un sophisme car il y a un mélange de deux logiques, une formelle pour l'adition et une globale pour la notion de "sensible " que tu as rajouté.
Si tu retire ce terme qui n'a pas de sens mathématique, on obtient bien qu'un grain de sable fait malgré tout une différence....
le problème est que tu te trompes : le paradoxe de Zenon est un problème purement littéraire qui n'existe que parcequ'en langage on est dans une logique globale et non formelle... En clair utiliser les mathématiques ne résous que le problème (qui peut d'ailleurs être résolu infiniment plus simplement comme cela a été décrit : en marchant) mais pas le paradoxe qui perdure (tu n'as pas rompu la logique sous jacente au paradoxe, tu as juste donné la réponse attendue)... Une logique formelle ne peut pas rompre une logique différente....
Quelle vidéo s'il te plaît ça m'intéresse ?
C'est parce que tu raisonnes avec la façon naturelle de sommer les termes d'une.
Tu prends la suite des sommes partielles Sn=a0+a1+...+an
Et tu regardes ce qu'ils se passe quand n tend vers l'infini.
Il faut faire attention à cette définition. Elle est loin d'être innocente. Car avec elle tu perds une propriété très importante de l'addition, la commutativité. En effet, le résultat de la somme d'un nombre infini de termes peut dépendre de l'ordre des termes dans celle ci.
Cette façon de sommer est une définition qui résulte d'un choix. Qui n'a pas des répercutions innocentes comme on l'a vu.
Comme tu le sais très bien les 3 suites qui permettent la démonstration que 1+2+3+...=-1/12 (Je les rappelle A=1-1+1-1+1-1...
B=1-2+3-4+5...
C=1+2+3...)
sont divergente et on ne peut donc pas leur associer une valeur réelle avec la méthode de sommation "naturelle".
Par contre il existe d'autres méthodes de sommation qui permet cela.
Pour A on peut utiliser la méthode de Cesaro.
Au lieu de prendre la limite des sommes partielles, on prend la limite de la moyenne des sommes partielles.
Ce qui nous permet d'obtenir A=1/2.
A noter que cette méthode ne change rien aux résultats obtenus avec la méthode naturelle. (c'est évidemment important pour qu'elle soit valable. Il y a d'autres conditions pour qu'elle le soit mais je ne suis pas sûre qu'il soit important d'en parler ici. Faisons confiance aux mathématiciens).
Malheureusement cette méthode ne nous permet pas de sommer B.
Pour B on pourra utiliser par exemple la méthode D'Abel, qui est un peu plus générique.
Cette méthode consiste à regarder la limite quand X tend vers 1 de la fonction f(X)=sum(an.X^n).
On obtient alors B=1/4.
Malheureusement les 2 méthodes de sommation précédente ne fonctionnent pas pour la somme qui nous intéresse.
Mais il en existe une qui fonctionne.
Cette méthode consiste à regarder si la fonction f(X)=sum(an/n^(X+1)) possède une valeur ou un prolongement analytique en -1.
Dans notre cas (an=n) on obtient la fonction appelé fonction zeta de Riemann. Et cette fonction a un prolongement analytique en -1 et elle vaut -1/12.
Il existe d'autres méthodes de sommation qui permettent d'obtenir cette valeur.
Tu vois donc que cette valeur n'a rien d'absurde.
Il faut te dire que rien dans la définition première de l'addition ne permet de donner une valeur à une somme d'une infinité de termes. Il faut donc faire un choix et définir une méthode de sommation qui te permette de donner une valeur à ces sommes. Et ce choix de définition est déterminant dans le fait de trouver une valeur ou non pour la somme.
Moi on m'a donné l'exemple de la flèche :
Si on tire une flèche, par exemple à dix mètres ..
A la moitié du chemin elle a parcourue 5 m .. Il parcours encore la moitié donc 2.5 m et ainsi de suite .. A la fin la distance à parcourir est infime .. mais elle doit être fait ..
En suivant cette logique jamais on va toucher la cible, on y sera presque mais jamais .. pourtant dans la vie la flèche touche la cible ^^
C'est pareil qu'avec les courbes et les limites en math .. On se rapproche d'un point sans jamais l'atteindre tellement ..