Dans le "paradoxe de Saint-Pétersbourg", on est à la croisée des mathématiques et de la psychologie. On lance une pièce : la cagnotte double à chaque "face", mais on perd la partie dès le premier "pile". Malgré une espérance de gain mathématiquement infinie, aucun individu sensé n'y investirait toutes ses économies.
La raison est psychologique : le risque de faire "pile" d'entrée et de voir sa fortune s'évaporer contre un gain initial dérisoire est de 50%. Pour expliquer ce refus du risque, Nicolas Bernoulli a posé les bases de la théorie de l'utilité.
Commentaires préférés (1)
Je suis d'accord avec un commentaire précédent.
En lisant l'anecdote on pourrait croire que si on a "pile", on perd toute la mise et les gains précédents. Alors que c'est l'inverse, au premier pile le jeu s'arrête et on récupère le "résultat" du jeu. D'où l'espérance de gain infini puisqu'au pire on repart avec la mise de départ.
Le paradoxe étant que beaucoup de monde accepterait de jouer seulement avec une mise de départ faible alors qu'il n'y a aucun risque de perdre.
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Je ne sais pas qui a rédigé l'anecdote, mais il a réussi à tout mélanger. Dans le jeu de Saint-Pétersbourg, oui la mise (qui commence à 1 ou 2 €) double à chaque "face", mais on ne perd pas au premier "pile", au contraire, on gagne. Donc évidemment, comme ça à l'air très payant, quelle somme seriez vous prêt à payer pour jouer à ce jeu ?
Parce que rédigé comme elle est, l'anecdote est incompréhensible.
Ou alors c'est moi qui n'ai rien compris, ça reste possible :-)
Je suis d'accord avec un commentaire précédent.
En lisant l'anecdote on pourrait croire que si on a "pile", on perd toute la mise et les gains précédents. Alors que c'est l'inverse, au premier pile le jeu s'arrête et on récupère le "résultat" du jeu. D'où l'espérance de gain infini puisqu'au pire on repart avec la mise de départ.
Le paradoxe étant que beaucoup de monde accepterait de jouer seulement avec une mise de départ faible alors qu'il n'y a aucun risque de perdre.
Wikipédia est plus clair, je vais essayer de reformuler
Imaginez un un jeu dans lequel on lance une pièce jusqu’à obtenir face : si face apparaît au premier lancer on gagne 2 €, au deuxième 4 €, au troisième 8 €, puis le gain double à chaque lancer supplémentaire.
On paie disons 20€ pour jouer donc il faut faire un certains nombre de face d'affilée pour gagner quelque chose, ce qui fait que la plupart des parties sont perdantes.
Paradoxe car
- espérance/gain moyen ou potentiel théoriquement infinie
- mais on y jouerait quand même pas
Ce paradoxe montre ainsi que les humains ne prennent pas leurs décisions uniquement selon l’espérance mathématique brute.
Aucun risque de perdre ?
C'est pas un jeu, juste un investissement.
Si j'ai bien compris, on est rentable qu'a partir du moment ou l'on a fait 5 faces a la suite. Ca donne pas très envie de jouer effectivement.
Je dirais que les chances de gains sont a partir de 3 faces a la suite, sinon on est perdant dans la majorité des cas.
C'est pas faute de dire à chaque fois sur les anecdote de Jib13 de mettre des sources en français...
A moins que ce soit le nouveau robot IA que Philippe a implémenté pour prendre des vacances en ce qui concerne SCMB ^^ (ce serait d'ailleurs tout à fait compréhensible).
Face : je comprends l’anecdote
Pile : je ne comprends pas l’anecdote
Je crois que c’est tombé sur pile
Oh la la, entre la rédaction douteuse de l'anecdote, les sources anglaises et techniquement difficiles à traduite et les commentaires contradictoires, si on a 50% de gens qui repartent avec une information vraie, ça tiendra du miracle....
Non car tout investissement comporte des risques
Bon désolé je suis aller demander a Claude, voici son explication, que je trouve quand meme plus claire que l'anecdote.
Le paradoxe de Saint-Pétersbourg :
Imaginez ce jeu : on lance une pièce en boucle, tant qu'elle tombe sur pile. Dès qu'elle tombe sur face, la partie s'arrête et vous emportez vos gains. Ces gains dépendent du nombre de lancers : 2 € si face sort dès le premier lancer, 4 € si vous avez eu un pile puis un face, 8 € avec deux piles, et ainsi de suite — le gain double à chaque pile supplémentaire. Au dixième lancer : 1 024 €. Au vingtième : plus d'un million.
La question : combien seriez-vous prêt à payer pour jouer ?
Mathématiquement, la réponse est… une somme infinie. Chaque scénario possible rapporte en moyenne 1 €, et comme il existe une infinité de scénarios, l'espérance de gain totale est infinie. Vous devriez donc théoriquement accepter de payer n'importe quel prix.
Sauf que dans la vraie vie, personne ne miserait plus de 5 ou 10 €. Et tout le monde a raison.
C'est ça, le paradoxe : les maths disent "ce jeu vaut une fortune", le bon sens dit "non".
La raison ? Obtenir vingt piles d'affilée avant le face libérateur est si improbable qu'on peut l'ignorer en pratique.
Ce paradoxe, formulé en 1713, a conduit les économistes à réaliser que l'espérance mathématique seule ne suffit pas à modéliser nos décisions — et a posé les bases de toute la théorie moderne du risque.
Non mais sérieux ! Entre les explications des commentaires encore plus brumeuses que l’anecdote elle même et ceux qui mélangent pile (on quitte la partie !) et face ( on double la mise !) et non pas le contraire… c’est juste incompréhensible pour un jeu où il simplement IMPOSSIBLE de perdre quoique que se soit. Il suffit de miser un million dès le départ pour, au pire le récupérer, et recommencer ad vitam…
La clé du problème c'est de ne pas confondre : l'espérance de gain, le gain moyen et le gain réel d'une partie.
Oui l'espérance de gain est infinie ici et le gain moyen observé sur plusieurs parties est faible mais le gain réel est presque toujours très faible ou négatif (selon la somme misée au départ).
Mais ce n'est pas vraiment un paradoxe à partir du moment où on sait que "espérance infinie" ne correspond pas à "gain réel infini". Par contre cela permet de dire que l’espérance mathématique n’est pas un critère suffisant pour décider de jouer ou non.
Il n'y a pas besoin d'aller sur un jeu à espérance infinie pour constater le paradoxe... Par exemple, qui miserait un million d'euros pour gagner 1 milliard en faisant 10 six en lançant 10 dés six (proba ~= 1/60 000 000) et perdant sa mise sinon. Pour ce jeu en particulier, l'esperance est infinie mais la variance aussi ! J'ai testé vite fais des simulations, en jouant 1 000 000 de fois un certains nombre de partie (1, puis 2, puis 4, etc), j'obtiens un peu plus d'une dizaine d'euros de gain moyen avec un millier d'euro d'écart type (avec une certaine consistance d'un run à l'autre). Je m'attendais a voir une différence en fonction du nombre de partie mais non...
Alors !!! Le jeu est en fait un "quitte ou double". Dans wiki, la mise est de 2$. En gros tu mises 2 dollars si c’est face, tu as 4, etc. Sauf que 1/2 chance de perdre tes deux dollars et, si tu gagnes, 1/4 de gagner ensuite 8$, etc, c’est exponentiel. Donc effectivement, tu enchaînes des faces, mais concrètement il faut faire 20 face de suite à peu près pour être millionnaire, en supposant que le casino soit avec des fonds infinis. Ce jeu a une limite technique et logique, dans la mesure où tu gagnes à 1/2. Mettons tu mises 2, tu perds. Prochaine partie, tu mises 4. Si tu perds, tu doubles jusqu’à gagner, car tu as 1/2 chance de gagner, quoi qu’il arrive. A un moment tu rentreras dans tes frais si tu arrêtes au 1/2 en doublant ta mises en supposant que tu aies, toi aussi, des fonds infinis.