Selon un théorème, on peut réaliser deux sphères identiques en découpant une autre sphère

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Le théorème de Banach-Tarski fut démontré en 1924 par les mathématiciens du même nom. Il énonce que l'on peut couper une sphère en plusieurs morceaux, lesquels recollés de la bonne façon reformeront deux sphères en tout point identiques à celle de départ.

La transformation reste toutefois purement théorique car irréalisable en pratique et il s'avère que les morceaux obtenus après découpage n'ont en fait aucune mesure. La démonstration fait intervenir un axiome très controversé des mathématiques, l'axiome du choix.


Commentaires préférés (3)

El Jj a fait une très bonne vidéo la dessus. Je trouve la formulation un peu hasardeuse : ce n'est pas que le résultat n'a pas de volume, c'est que ce théorème ne fonctionne que pour les objets non-mesurables, et que par conséquent, le résultat n'est pas non plus mesurable. Un peu comme si on comparait deux ensembles infinis.
On peut aussi prendre comme exemple l'ensemble de Vitali, qui est une partie non-mesurable d'une droite qui est elle même mesurable. En gros, on prend des points séparés. les points n'ont pas de largeur, donc de distance, mais font bien partie de la droite. Si on prend un nombre fini de points, la somme des longueurs est égale a zéro. On pourrait alors se dire qu'une droite est une suite infini de points, et donc qu'un nombre infini de points donnerait comme longueur la longueur de la droite, mais non. Si on prend les nombres décimaux, on a un ensemble dénombrable, bien qu'infini, mais dont chaque point est isolé, la longueur totale est donc de 0. On peut ainsi continuer a enlever un ensemble dénombrable a un ensemble indénombrable, sans lui enlever sa longueur. En faisant cette action un nombre infini de fois, on arrive a une longueur qui n'a pas pour mesure 0, mais qui n'est pas non plus strictement supérieur a zéro : l'ensemble n'a donc pas de mesure.
Pour en revenir au théorème de Banach-Tarski, ils ont prouvé qu'en combinant plusieurs objets non-mesurable, on peut constituer un objet mesurable. Il suffisait alors de réussir a découper la sphère en au moins 4 parties non mesurables pour en faire deux sphères mesurables

Plus précisément, là où le théorème est fort c'est qu'il prouve qu'on peut le faire en découpant la sphère en un nombre FINI de pièces (qui évidemment n'ont aucun sens physique comme dit dans l'anecdote). Plus fort encore, on connaît le nombre de découpages dont on a besoin: 5 exactement. Au même titre que l'escalier du diable (qui est plat partout mais monte quand même), il fait partie des paradoxes physiques qui apparaissent quand l'axiome du choix est introduit dans les règles du jeu mathématique.

a écrit : El Jj a fait une très bonne vidéo la dessus. Je trouve la formulation un peu hasardeuse : ce n'est pas que le résultat n'a pas de volume, c'est que ce théorème ne fonctionne que pour les objets non-mesurables, et que par conséquent, le résultat n'est pas non plus mesurable. Un peu comme si on comparait deux ensembles infinis.
On peut aussi prendre comme exemple l'ensemble de Vitali, qui est une partie non-mesurable d'une droite qui est elle même mesurable. En gros, on prend des points séparés. les points n'ont pas de largeur, donc de distance, mais font bien partie de la droite. Si on prend un nombre fini de points, la somme des longueurs est égale a zéro. On pourrait alors se dire qu'une droite est une suite infini de points, et donc qu'un nombre infini de points donnerait comme longueur la longueur de la droite, mais non. Si on prend les nombres décimaux, on a un ensemble dénombrable, bien qu'infini, mais dont chaque point est isolé, la longueur totale est donc de 0. On peut ainsi continuer a enlever un ensemble dénombrable a un ensemble indénombrable, sans lui enlever sa longueur. En faisant cette action un nombre infini de fois, on arrive a une longueur qui n'a pas pour mesure 0, mais qui n'est pas non plus strictement supérieur a zéro : l'ensemble n'a donc pas de mesure.
Pour en revenir au théorème de Banach-Tarski, ils ont prouvé qu'en combinant plusieurs objets non-mesurable, on peut constituer un objet mesurable. Il suffisait alors de réussir a découper la sphère en au moins 4 parties non mesurables pour en faire deux sphères mesurables
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5 en fait : 4 non mesurables et un point. Prouver l'impossibilité en 4 est assez facile.


Tous les commentaires (31)

Waouh ! Ça donne mal à la tête :-) !!!

El Jj a fait une très bonne vidéo la dessus. Je trouve la formulation un peu hasardeuse : ce n'est pas que le résultat n'a pas de volume, c'est que ce théorème ne fonctionne que pour les objets non-mesurables, et que par conséquent, le résultat n'est pas non plus mesurable. Un peu comme si on comparait deux ensembles infinis.
On peut aussi prendre comme exemple l'ensemble de Vitali, qui est une partie non-mesurable d'une droite qui est elle même mesurable. En gros, on prend des points séparés. les points n'ont pas de largeur, donc de distance, mais font bien partie de la droite. Si on prend un nombre fini de points, la somme des longueurs est égale a zéro. On pourrait alors se dire qu'une droite est une suite infini de points, et donc qu'un nombre infini de points donnerait comme longueur la longueur de la droite, mais non. Si on prend les nombres décimaux, on a un ensemble dénombrable, bien qu'infini, mais dont chaque point est isolé, la longueur totale est donc de 0. On peut ainsi continuer a enlever un ensemble dénombrable a un ensemble indénombrable, sans lui enlever sa longueur. En faisant cette action un nombre infini de fois, on arrive a une longueur qui n'a pas pour mesure 0, mais qui n'est pas non plus strictement supérieur a zéro : l'ensemble n'a donc pas de mesure.
Pour en revenir au théorème de Banach-Tarski, ils ont prouvé qu'en combinant plusieurs objets non-mesurable, on peut constituer un objet mesurable. Il suffisait alors de réussir a découper la sphère en au moins 4 parties non mesurables pour en faire deux sphères mesurables

Plus précisément, là où le théorème est fort c'est qu'il prouve qu'on peut le faire en découpant la sphère en un nombre FINI de pièces (qui évidemment n'ont aucun sens physique comme dit dans l'anecdote). Plus fort encore, on connaît le nombre de découpages dont on a besoin: 5 exactement. Au même titre que l'escalier du diable (qui est plat partout mais monte quand même), il fait partie des paradoxes physiques qui apparaissent quand l'axiome du choix est introduit dans les règles du jeu mathématique.

Oh! La multiplication des pains serait donc purement théorique :) Mon Dieu!

Effectivement je n'y avais pas pensé, mais grâce à la théorie de la mesure dans les espaces euclidiens vu par un esprit critique tout en combinant la loi de Le lemme de recouvrement de Vitali (le tout au carré bien sûr) cela me semble maintenant évident.
Comment ai-je fait pour ne pas y penser avant ?!

Qué bordel! Et après ça tu t'étonnes que personne aime les maths?

a écrit : El Jj a fait une très bonne vidéo la dessus. Je trouve la formulation un peu hasardeuse : ce n'est pas que le résultat n'a pas de volume, c'est que ce théorème ne fonctionne que pour les objets non-mesurables, et que par conséquent, le résultat n'est pas non plus mesurable. Un peu comme si on comparait deux ensembles infinis.
On peut aussi prendre comme exemple l'ensemble de Vitali, qui est une partie non-mesurable d'une droite qui est elle même mesurable. En gros, on prend des points séparés. les points n'ont pas de largeur, donc de distance, mais font bien partie de la droite. Si on prend un nombre fini de points, la somme des longueurs est égale a zéro. On pourrait alors se dire qu'une droite est une suite infini de points, et donc qu'un nombre infini de points donnerait comme longueur la longueur de la droite, mais non. Si on prend les nombres décimaux, on a un ensemble dénombrable, bien qu'infini, mais dont chaque point est isolé, la longueur totale est donc de 0. On peut ainsi continuer a enlever un ensemble dénombrable a un ensemble indénombrable, sans lui enlever sa longueur. En faisant cette action un nombre infini de fois, on arrive a une longueur qui n'a pas pour mesure 0, mais qui n'est pas non plus strictement supérieur a zéro : l'ensemble n'a donc pas de mesure.
Pour en revenir au théorème de Banach-Tarski, ils ont prouvé qu'en combinant plusieurs objets non-mesurable, on peut constituer un objet mesurable. Il suffisait alors de réussir a découper la sphère en au moins 4 parties non mesurables pour en faire deux sphères mesurables
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5 en fait : 4 non mesurables et un point. Prouver l'impossibilité en 4 est assez facile.

a écrit : Qué bordel! Et après ça tu t'étonnes que personne aime les maths? Bah justement, personnellement, à chaque fois que je vois des théories comme ça, ça me donne envie de mieux comprendre l'infini, l'axiome du choix, et toutes les autres briques mathématiques qui mit bout à bout permettent de construire ce genre de paradoxe.
Que ce soit des choses purement théoriques comme le théorème de Banach-Tarski, l'ensemble de Vitali ou l'hôtel de Hilbert, ou au contraire des choses ayant un impact réel dans la vie de tout les jours, je trouve ça fascinant.
Je pense que c'est un peut comme le sport : si tu n'en fait jamais, et que tu essaye de faire un marathon du jour au lendemain, tu n'y arrivera pas, et tu aura des crampes le lendemain. Vas y petit a petit, et tu arrivera a faire bien plus de choses que tu n’espérait, et tu te rendra compte qu'une petite séance fait énormément de bien a ton corps.
Pour les maths, c'est pareil, comprendre ce théorème sans rien connaitre ça peut donner mal a la tête. prendre du temps pour le comprendre petit a petit, et tu comprendra bien plus de choses que tu n’espérais. Et après avoir découvert ce genre de choses, tu verra que tu sera stimulé mentalement.

a écrit : 5 en fait : 4 non mesurables et un point. Prouver l'impossibilité en 4 est assez facile. petit oubli en effet, trop tard pour éditer.

Quelqu'un aurait un Doliprane??

Utilitée de ce genre d'anecdote où 1% des lecteurs vont comprendre et vont ensuite se lancer dans des pavés pour montrer qui a la plus grosse ?

çà montre en tous cas que les mathématiques n'ont pas pour but de décrire le réel

a écrit : El Jj a fait une très bonne vidéo la dessus. Je trouve la formulation un peu hasardeuse : ce n'est pas que le résultat n'a pas de volume, c'est que ce théorème ne fonctionne que pour les objets non-mesurables, et que par conséquent, le résultat n'est pas non plus mesurable. Un peu comme si on comparait deux ensembles infinis.
On peut aussi prendre comme exemple l'ensemble de Vitali, qui est une partie non-mesurable d'une droite qui est elle même mesurable. En gros, on prend des points séparés. les points n'ont pas de largeur, donc de distance, mais font bien partie de la droite. Si on prend un nombre fini de points, la somme des longueurs est égale a zéro. On pourrait alors se dire qu'une droite est une suite infini de points, et donc qu'un nombre infini de points donnerait comme longueur la longueur de la droite, mais non. Si on prend les nombres décimaux, on a un ensemble dénombrable, bien qu'infini, mais dont chaque point est isolé, la longueur totale est donc de 0. On peut ainsi continuer a enlever un ensemble dénombrable a un ensemble indénombrable, sans lui enlever sa longueur. En faisant cette action un nombre infini de fois, on arrive a une longueur qui n'a pas pour mesure 0, mais qui n'est pas non plus strictement supérieur a zéro : l'ensemble n'a donc pas de mesure.
Pour en revenir au théorème de Banach-Tarski, ils ont prouvé qu'en combinant plusieurs objets non-mesurable, on peut constituer un objet mesurable. Il suffisait alors de réussir a découper la sphère en au moins 4 parties non mesurables pour en faire deux sphères mesurables
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Aïe aïe aïe
Deux ensembles infinis distincts? Impossible, par définition, ils se contiennent l'un l'autre, il ne peut exister qu'un seul ensemble infini, par définition

a écrit : Aïe aïe aïe
Deux ensembles infinis distincts? Impossible, par définition, ils se contiennent l'un l'autre, il ne peut exister qu'un seul ensemble infini, par définition
Heu... non

a écrit : Aïe aïe aïe
Deux ensembles infinis distincts? Impossible, par définition, ils se contiennent l'un l'autre, il ne peut exister qu'un seul ensemble infini, par définition
Hmmmm je suis pas sûr que cela soit juste. L'ensemble des nombres pairs et des nombres impairs sont 2 ensembles infinis, mais qui sont distincts car un entier ne peux pas être pair et impair à la fois.

a écrit : El Jj a fait une très bonne vidéo la dessus. Je trouve la formulation un peu hasardeuse : ce n'est pas que le résultat n'a pas de volume, c'est que ce théorème ne fonctionne que pour les objets non-mesurables, et que par conséquent, le résultat n'est pas non plus mesurable. Un peu comme si on comparait deux ensembles infinis.
On peut aussi prendre comme exemple l'ensemble de Vitali, qui est une partie non-mesurable d'une droite qui est elle même mesurable. En gros, on prend des points séparés. les points n'ont pas de largeur, donc de distance, mais font bien partie de la droite. Si on prend un nombre fini de points, la somme des longueurs est égale a zéro. On pourrait alors se dire qu'une droite est une suite infini de points, et donc qu'un nombre infini de points donnerait comme longueur la longueur de la droite, mais non. Si on prend les nombres décimaux, on a un ensemble dénombrable, bien qu'infini, mais dont chaque point est isolé, la longueur totale est donc de 0. On peut ainsi continuer a enlever un ensemble dénombrable a un ensemble indénombrable, sans lui enlever sa longueur. En faisant cette action un nombre infini de fois, on arrive a une longueur qui n'a pas pour mesure 0, mais qui n'est pas non plus strictement supérieur a zéro : l'ensemble n'a donc pas de mesure.
Pour en revenir au théorème de Banach-Tarski, ils ont prouvé qu'en combinant plusieurs objets non-mesurable, on peut constituer un objet mesurable. Il suffisait alors de réussir a découper la sphère en au moins 4 parties non mesurables pour en faire deux sphères mesurables
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J’ai saigné du nez en voulant « comprendre »

On coupe une sphère en plusieurs morceaux et on peut les recoller à leur bonne place pour réformer ladite sphère ?
Ben oui.
Ça s'appelle un puzzle.

a écrit : On coupe une sphère en plusieurs morceaux et on peut les recoller à leur bonne place pour réformer ladite sphère ?
Ben oui.
Ça s'appelle un puzzle.
On en créé deux, en fait.

On vient juste de démontrer la démultiplication des pains (sphériques !) par Jésus...