Owrange a écrit : Utilitée de ce genre d'anecdote où 1% des lecteurs vont comprendre et vont ensuite se lancer dans des pavés pour montrer qui a la plus grosse ? Peut-être que tout le monde ne va pas la comprendre mais ça n'empêche pas de trouver l'anecdote intéressante... Et les pavés servent à l'expliquer. Pas à se vanter :) Au moins ceux-là sont des commentaires utiles...

Exact, laissez moi découper une sphère à l'échelle de la molécule et je vous refais plusieurs sphères parfaites avec les morceaux...théorème terminé.

narticho a écrit : Hmmmm je suis pas sûr que cela soit juste. L'ensemble des nombres pairs et des nombres impairs sont 2 ensembles infinis, mais qui sont distincts car un entier ne peux pas être pair et impair à la fois. Exact :) !

kepotx a écrit : El Jj a fait une très bonne vidéo la dessus. Je trouve la formulation un peu hasardeuse : ce n'est pas que le résultat n'a pas de volume, c'est que ce théorème ne fonctionne que pour les objets non-mesurables, et que par conséquent, le résultat n'est pas non plus mesurable. Un peu comme si on comparait deux ensembles infinis.
On peut aussi prendre comme exemple l'ensemble de Vitali, qui est une partie non-mesurable d'une droite qui est elle même mesurable. En gros, on prend des points séparés. les points n'ont pas de largeur, donc de distance, mais font bien partie de la droite. Si on prend un nombre fini de points, la somme des longueurs est égale a zéro. On pourrait alors se dire qu'une droite est une suite infini de points, et donc qu'un nombre infini de points donnerait comme longueur la longueur de la droite, mais non. Si on prend les nombres décimaux, on a un ensemble dénombrable, bien qu'infini, mais dont chaque point est isolé, la longueur totale est donc de 0. On peut ainsi continuer a enlever un ensemble dénombrable a un ensemble indénombrable, sans lui enlever sa longueur. En faisant cette action un nombre infini de fois, on arrive a une longueur qui n'a pas pour mesure 0, mais qui n'est pas non plus strictement supérieur a zéro : l'ensemble n'a donc pas de mesure.
Pour en revenir au théorème de Banach-Tarski, ils ont prouvé qu'en combinant plusieurs objets non-mesurable, on peut constituer un objet mesurable. Il suffisait alors de réussir a découper la sphère en au moins 4 parties non mesurables pour en faire deux sphères mesurables Afficher tout Élément fondamental dans ce cas qu’est celui de la continuité.

Owrange a écrit : Utilitée de ce genre d'anecdote où 1% des lecteurs vont comprendre et vont ensuite se lancer dans des pavés pour montrer qui a la plus grosse ? En effet on trouve souvent des théorèmes mathématiques transformés en 'anecdotes'. Plus c'est complexe à expliquer plus on se sent érudit en le publiant, mais ce n'est pas une anecdote. Bientôt des cours de chimie peut être...

Effectivement ce genre d'anecdote peut donner mal au crâne mais certains prennent le temps d'expliquer, merci à eux.
Les mathématiques sont franchement marrantes, tu y retrouve des infinis qui n'ont pas la même taille, des droites parallèles qui se coupent à l'infini, etc.
Les maths, c'est pas juste les théorèmes qu'on utilise jamais, c'est surtout un façon de voir le choses, de nous faire réfléchir ! Perso, une longueur infinie qui est une somme infinie de longueurs zéro, j'ai envi d'approfondir !

narticho a écrit : Hmmmm je suis pas sûr que cela soit juste. L'ensemble des nombres pairs et des nombres impairs sont 2 ensembles infinis, mais qui sont distincts car un entier ne peux pas être pair et impair à la fois. désolé, je picole trop en ce moment, je ne le ferai plus, promis

Certains se demande certainement : "mais pourquoi on a démontré un truc pareil ?". En fait, ça permet surtout de mettre à mal l'axiome du choix.

Tout d'abord, qu'est-ce qu'un axiome ? Un axiome, c'est une "brique élémentaire", quelque chose qui nous paraît tellement évident qu'on ne peut pas le démontrer. En supposant vrai les axiomes, on démontre tout le reste de la théorie. Par exemple, la géométrie classique (celle d'Euclide) se base sur 5 axiomes, du style "on peut tracer une droite passant par deux points donnés".

Et l'axiome du choix ? C'est un axiome de la théorie des ensembles, qui est un peu la maman de toutes les théories mathématiques, donc très importante. Il dit que si on a des ensembles devant nous, on peut choisir un élément dans chaque ensemble, c'est-à-dire créer un ensemble avec les "représentants" des ensembles (désolé, ça fait beaucoup d'"ensemble").

Comme vous voyez, cet axiome semble évident, et les mathématiciens sont d'accord avec vous, donc ils l'utilisent. Mais avec cet axiome, on arrive à dupliquer les sphères ! De quoi mettre en doute sérieusement son utilisation.

Aujourd'hui, l'axiome du choix et tellement important qu'il est souvent utilisé (plusieurs choses permettent de relativiser la "gravité" du théorème de Banach-Tarski). Mais dès qu'ils le peuvent, les mathématiciens l'évitent.

Voilà, j'espère avoir éclairé la lanterne des quelques non-initiés qui sont venus à bout de ce pavé !

C’est evident comme theoreme.
Pas besoin de faire une demonstration complexe en mathématiques:
Il suffit de faire des bulles de savon pour voir que c’est tellement facile de faire une bulle, puis de l’utiliser pour faire une ou deux autres bulles identiques, du moins en apparence.
C’est possible car le nombre de molecules de savon, meme s’il est denombrable, est proche de l’infini dans ce cas particulier,.
Cqfd

Owrange a écrit : Utilitée de ce genre d'anecdote où 1% des lecteurs vont comprendre et vont ensuite se lancer dans des pavés pour montrer qui a la plus grosse ? Tu as raison, évitons des débats inutiles et acceptons directement le fait que c'est moi.

Rackam a écrit : Oh! La multiplication des pains serait donc purement théorique :) Mon Dieu! Euh, ça dépend où ! Sur un terrain de rugby, par exemple, on est plutôt dans la vérification pratique !!!

L'axiome est donc faux car ce n'est pas possible...