Lorsque vous mélangez un jeu de 52 cartes, l'ordre des cartes que vous obtenez n'est très probablement jamais apparu dans toute l'histoire de l'humanité. En effet, un jeu de 52 cartes peut se mélanger de 8,06x10^67 manières différentes, soit un nombre à 68 chiffres ! Même si l'humanité toute entière mélangeait des cartes depuis 10 000 ans chaque seconde, on serait encore à un nombre minuscule en comparaison.
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Tous les commentaires (129)
Je ne suis pas sûr de ce que tu entends lorsque tu dis "croit plus vite", mais il me semble que le factoriel croit plus vite que l'exponentiel
En terme plus exact, si tu prends une suite u(n) = exp(n) et une suite v(n) = n! , alors u est un petit o de v (ou encore u=o(v))
C'est à dire que lim(u(n)/v(n)) = 0 lorsque n tend vers +infini
Quelques recherches sur internet de permettront de trouver la preuve assez facilement
Eh oui elle en a sous le capot cette factorielle ;)
Euh je n'ai peut être pas été précis dans mes termes, mais je ne parlais pas du "paradoxe des anniversaires", seulement du nombre de p-uplet dont chacun des élément est à choisir dans une liste a n éléments, où p = 30 et n = 365, ce qui fait 365^30 si je ne m'abuse
Mais le paradoxe des anniversaires est en effet très intéressant, et un cas de dénombrement/probabilité selon moi plus surprenant que l'anecdote ici (ce n'est que mon avis bien entendu)
Tout à fait exact, je voulais dire que l'exponentielle croît (avec un accent circonflexe!) plus "vite" que la fonction puissance, mais pas que la factorielle.
cf "formule de Stirling", par exemple.
Pareil, je ne pense pas qu'exponentielle croît plus "vite" que la puissance, cela dépend de quelle base tu prends pour la puissance.
Plus précisément, la suite exponentielle u(n) = exp(n) n'est qu'une puissance avec la base e. D'après mes souvenirs e est environ égale à 2,78
Donc si je prends la fonction par exemple v(n) = 3^n , alors v(n) croît plus "vite" que u(n), u=o(v)
Après tu peux dire que toute puissance n'est finalement qu'un exponentiel à la puissance d'une constante.
Dans mon exemple v(n) = 3^n = (exp(n))^(3/e), la constante est 3/e ici
Dans ce cas l'exponentiel croît "aussi vite" que la puissance
Tout n'est qu'une question de mots...
Pour un jeux de tarot j'arrive alors à 4,7E115... C'est même pas envisageable comme nombre !
Je corrige les propos de mon commentaire précédent, car cela dépend de l'angle par lequel tu fais la comparaison.
J'ai supposé que lorsque tu disais qu'exponentielle "croît plus vite" que la puissance (qui est un énoncé très vague), tu comparais x^n et exp(n), lorsque n tend vers +infini.
Maintenant, pour un n donné, si tu compares x^n et exp(x), il est vrai qu'exponentielle croît plus vite lorsque x tend vers +infini, quelque soit le n choisi.
J'ai lu tes commentaires précédents, et ayant vu à quel point tu prenais à coeur des débats autour de quelques calculs mathématiques, je me suis dit qu'il était important que je souligne cette nuance.
Si si c'était bien mon réveil!
Détail inutile, car c'est bien 68 chiffres. 8 fois 1 suivi de 67 zéros, ça ne fait pas 68 chiffres ?
Désolé mais lisez bien les deux dernières lignes de mon premier commentaire, j'ai jamais dis qu'il est interdit par la loi de compter les cartes. J'ai bien dis qu'il est interdit de compter les cartes dans les casinos...
Au fait, l'exponentielle croît "moins vite" que la factorielle
Il y a a chaque tirage 1chance sur 52 puis 1 chance sur 51etc.... Donc cela se traduit par une expression mathématique simple celui du factoriel qui multiplie les termes de 1a n entre eux (ici n=52 ) ce qui donne 52*51*50 etc...
Ce qui se traduits par
52 ! Soit 8,06582*10^67
Si l'humanité avait fais un tirage toute les secondes pendant 10000 ans cela donnerait
10000ans*365jours*24heures*60minutes*60 seconde *7000000000 personnes =22075200000000 tirages donc la probabilité que deux tirage soit identique est d'un certain nombre puissance de calcul atteinte ^^
Sauf qu'étant donné q'un jeu de carte neuf est toujours ordré et qu'un mélange n'est jamais parfait, il y a des positions qui ont plus de probabilité de venir que d'autres
Je sais pas si on peut vraiment comparer la croissance d'une suite et d'une fonction en fait
Peut être que quelqu'un de plus caler que moi pourrait infirmer et confirmer cela non ?
Absolument pas. La factorielle (ou fonction gamma à une translation près) croît bien plus vite (en un sens mathématiquement précis) que n'importe quelle fonction puissance. Une manière de s'en rendre compte, c'est d'utiliser la formule de Stirling : quand n est grand, n! ~ sqrt(2pi n) (n/e)^n.
Appliquée ici, cette formule nous donne une bonne approximation de 52! :
52! ~ sqrt(104 pi) (52/e)^52, avec pi = 3.14159... et e = 2.71828...
En pratique, cette formule est très utile puisque le calcul d'une factorielle est extrêmement lourd numériquement, tandis que l'exponentialisation se fait assez facilement grâce à certains algorithmes assez élémentaires.
Si. Je suis bien d'accord. Mais hier c'était écrit 68 à la place de 67. C'est pour ça ! :).
Regarde le commentaire de Sebi954 stipulant une erreur de calcul :)
Pendant qu'on y est dans les corrections (on va finir par y arriver), il faudrait écrire 8,07.10^67 car si on regarde les décimales suivantes c'est 8,0658 donc il faudrait arrondir au chiffre supérieur et pas simplement tronquer après le 6.
D'où le fait que les IA d'échec rivalise depuis longtemps avec les joueur pro et celle de Go seulement depuis peu X3
Tu donne mal a la tête la tu sait ? Mais toujours interessent a lire !
Il ya également plus de façon de mélanger un jeu de 52 cartes que d'atomes sur Terre.