L'étrange trompette de Gabriel

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La trompette de Gabriel est un solide mathématique inventé par le mathématicien italien Torricelli vers 1641, qui a la particularité d'avoir un volume fini mais une surface infinie. En d'autres termes, on peut la remplir avec un volume fini de peinture mais on ne pourra jamais la peindre !

Le nom fait allusion à la tradition d'identifier l'archange Gabriel à l'ange qui souffle dans la trompette pour annoncer le Jour du jugement, en associant l'infini et le divin


Tous les commentaires (75)

a écrit : Non, son volume est lui aussi infini, c'est celui de la peinture pouvant y être contenu qui est fini (si j'ai bien compris) C'est @rem170 qui voit juste.
Son volume (donc la quantité de peinture qu'il peut contenir) est bien fini.
C'est sa longueur (et donc surface) qui est infinie.

C'est assez bien expliqué plus haut.
Le volume est l'intégrale d'une surface.
Or une intégrale peut être approximée par une somme.
Du coup, ici on calcule une somme infinie de termes et on trouve un nombre fini.
Comme dans le cas de certaines suites, notamment du célèbre paradoxe de Xénon (déjà souligné plus haut).

Selon la source wiki : le volume est égal à Pï c’est la raison pour laquelle on considère que le volume a une valeur fixe. Peut-on s’interroger sur la véracité de l’affirmation puisque ce nombre Pi est infini ?

a écrit : Selon la source wiki : le volume est égal à Pï c’est la raison pour laquelle on considère que le volume a une valeur fixe. Peut-on s’interroger sur la véracité de l’affirmation puisque ce nombre Pi est infini ? Le nombre pi est fini, c'est ces décimales ou plutôt sa valeur exacte qu'on ne connait pas mais pi est un nombre fini puisque il est entre 3 et 4 par exemple. Il y a un intervalle fini entre 3 et 4 mais décomposable en une infinité de nombres réels.

En fait tout réside dans le fait que la peinture aura dans tout les cas une épaisseur. Or l'intérieur de la trompette, se réduit à un tels point que l'épaisseur de la peinture est supérieur à celle de l'interieur de la trompette. Je sais pas si tput ça est clair. (J'ai lu l'article wiki hier)

a écrit : Et Francois Pérusse a dit :
"Il est rare de voir un contrebassiste nain, surtout quand il est derrière sa contrebasse."
Si tu vois une contrebasse debout toute seule, c'est justement que le nain est derrière pour la tenir

a écrit : Selon la source wiki : le volume est égal à Pï c’est la raison pour laquelle on considère que le volume a une valeur fixe. Peut-on s’interroger sur la véracité de l’affirmation puisque ce nombre Pi est infini ? Comme l'a dit @guigui, Pi est un nombre fini, quoique ayant (probablement) une infinité de décimaux.
Il serait donc tentant de croire qu'une somme infinie de termes, même si elle donne un nombre fini donnerait un nombre aux décimales infinies.
Eh ben non, exemple de la somme 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +.... qui donne 1.

Si ça peut aider certains à comprendre, on peut ramener ce problème à un espace à 2 dimensions. Souvenons-nous de vos cours de math. La courbe e^x (exponentielle) tend vers 0 quand x tend vers - l'infini (on peut taper "courbe exponentielle" dans Google Images si ça peut aider).
Si on prend la surface comprise entre cette courbe, l'axe des absisses, et l'axe des ordonnées, on obtient un périmètre infini (puisque la courbe continue à l'infini vers la gauche), mais une surface finie! Car la propriété de cette courbe est d'avoir une intégrale finie.
On pourrait parler de peinture si on veut, mais pas besoin d'évoquer l'épaisseur ou quoi que ce soit. C'est simplement qu'on a une surface finie délimitée par un périmètre infini.

... de NOS cours de maths pardon...

a écrit : ça me rappelle le ruban de moebius : une seule face, un seul coté !!! J'arrive pas à comprendre cette jistoire de trompette, c'est un truc de matheux et les maths et moi c'est comme l'eau et l'huile, ca fait une mayonnaise!^^

Le ruban de Möbius en revanche, je le perçois ainsi:
C'est à la fois UN objet (en trois dimensions) et UNE surface (en deux dimensions)... heuuuu

quelqu'un a une aspirine SVP? ^^

Je comprends pas tout là... peut on la « modéliser » dans notre monde réel ? Genre l’as ton déjà fabriquer de manière concrète et réaliser l’expérience ?

a écrit : Je comprends pas tout là... peut on la « modéliser » dans notre monde réel ? Genre l’as ton déjà fabriquer de manière concrète et réaliser l’expérience ? C'est un objet de longueur infinie donc bon courage si tu tentes l'expérience :)

a écrit : Je comprends pas tout là... peut on la « modéliser » dans notre monde réel ? Genre l’as ton déjà fabriquer de manière concrète et réaliser l’expérience ? C'est un objet mathématique, tenter de le reproduire dans la réalité n'aurait aucun intérêt, l'intérêt c'est la théorie qu'il y a derrière justement :)

Dixit Wikipedia :
En effet, la quantité de peinture suppose que la surface soit peinte sur une épaisseur e. Lorsque l'on peint l'intérieur de la trompette, il arrive un moment où le rayon intérieur devient inférieur à e. Alors on s'arrête de peindre tandis que la surface continue à se déployer indéfiniment.

Il faut quand même bien comprendre que quand un mathématicien construit de tels objets, il le fait à travers des concepts qui sont propres au mathématiques et ne se transposent pas toujours au monde physique.

Les mathématiciens savent découper des choses à l'infini, chose qu'un physicien juge impossible. Le mathématicien sait aussi très bien couper une boule en morceau et, avec ces morceaux, former deux nouvelles boules chacune identiques à la première :

fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Banach-Tarski

De ces bizarreries, nous ne devons évidemment pas penser en tirer un intérêt pratique, ni même mathématiques, mais métaphysique (ou métamathématique). Comme à chaque fois lorsque les mathématiciens ont tenté de chercher des cas pathologiques (ça a commencé avec les fonctions continues partout mais dérivable nulles part), le but était de montrer à quel point les concepts qu'ils manipulent peuvent ne pas être de très bons modèles de ce qui existe physiquement puisqu'ils conduisent à des contradictions, non au sein des mathématiques, mais de leur interprétation.

Il faut bien garder en tête que la trompette se prolonge à l’infini vers la droite.
Malgré cela pour cette forme particulière le calcul du volume intérieur donne une valeur mais pas le calcul de la surface qui lui est infini (la fonction qui calcule le volume est dite intégrable contrairement à celle de la surface).

Le passage à l’infini est contre intuitif comme dans la situation suivante : vous êtes à 2 mètres d’un mur. Vous décidez d’avancer vers lui de la manière suivante : 1 pas puis 1/2 pas, puis 1/4 de pas puis 1/8 .... à chaque fois vous parcourez la moitié de la distance restante donc on comprends que vous ne toucherez jamais le mur. Résultat vous faites une infinité d’étapes pour avancer d’une distance finie : 2 pas. Il en est de même pour la trompette qui semble aller jusqu’à l’infini mais qui a un volume fini :)

Évidement c'est un paradoxe et une histoire qu'on aime raconter. Il ne serait évidemment pas possible de matérialiser le solide en question et de plus, l'établissement de ce paradoxe est antérieur au calcul intégral qui serait pourtant très intéressant dans son analyse.

a écrit : Voilà ce que j'ai compris en lisant les sources et qui, à mon sens, explique le paradoxe:

- la trompette a une longueur infinie, l'une de ses extrémités, celle qui devient de plus en plus petite, se déploie à l'infini, il y aura donc toujours quelque chose à peindre à l'extérieur

-mais si on couvre de peinture la surface intérieure, on devra à un moment s'arrêter en s'enfonçant dans l'extrémité infinie qui devient de plus en plus étroite car la peinture à une certaine épaisseur, qui elle est finie.

Si quelqu'un a une meilleure compréhension du phénomène...
Afficher tout
Il est question de volume pas de surface intérieure, la peinture n’est qu’un exemple pour comprendre. La surface intérieure est égale à la surface extérieure (a priori c’est intuitivement le cas pour une surface fini).

a écrit : Terricelli est aussi à l’origine d’une loi permettant de calculer la vitesse d’écoulement d’un fluide par un orifice en fonction de la hauteur d’eau au-dessus de celui-ci.
Problème de la baignoire qui se vide par exemple.

Je suis ingénieur hydraulicien et j’utilise parfois la formule mathématique associée.
Il est aussi l’inventeur du Torr, unité de pression dont je n’ai pas l’équivalence en tête... très utilise au Japon et bien sûr en Italie. On le vois sur les cadrans de turbo des voitures suralimentés ;)

Édit : le Torr se définit en Mmhg et il est égal à 0,0133 bar !

Bon, je vais essayer de vous faire une explication pour les non-matheux:
Notre trompette est une portion d'hyperbole que l'on a fait tourner sur elle-même (vous avez la forme en image). Elle démarre, sur un graphique, à 1, et continue jusqu'à l'infini.
Si on la démarre à 1, c'est parce qu'en zéro, elle n'est pas définie, c'est à dire qu'on ne peut calculer de valeur. Par exemple, la fonction 1/x, qui est calculable pour tout X différent de zéro et est l'hyperbole la plus connue. (Le choix de 1 est totalement arbitraire, en fait n'importe quelle valeur entre 0 et 1 aurait suffit mais là, la forme est jolie et facile à appréhender).

Concrètement, puisqu'elle continue jusqu'à l'infini, sa longueur est infinie. De la même manière (sans trop expliquer les détails), la surface extérieure augmente à l'infini. Si vous voulez, la différence de surface extérieure sur des portions éloignées de notre trompette est faible, on rajoute donc, pour une taille d'intervalle donnée, toujours à peu près la même surface.

Par contre, pour ce qui est du volume, la plus grosse partie se trouve au tout début de notre trompette. En effet, à chaque fois que l'on avance sur notre courbe, le volume ajouté réduit, bien plus rapidement que pour la surface. Pour faire simple, le calcul de la surface est un produit de la longueur de l'intervalle et de l'ordonnée moyenne (la hauteur moyenne de la courbe) sur cet intervalle, alors que le calcul du volume est un produit de la longueur de l'intervalle par le carré de l'ordonnée moyenne. Au carré, ça réduit beaucoup plus vite.

Au bout d'un moment, les valeurs sont tellement petites qu'on n'ajoute presque rien au volume total ; mathématiquement, on est capable de calculer une limite théorique au volume, qui sera atteinte au bout d'un temps infini : on dit que la fonction qui représente notre volume "tend" vers une valeur.
C'est-à-dire que, à cause de la nature de la fonction, on n'atteindra cette valeur qu'après une infinité d'ajouts de touts petits volumes, et qu'on ne peut donc pas dire "notre trompette atteint ce volume à l'abscisse X (la longueur X de la trompette)".

Ce volume maximal est une "limite" de la fonction représentant le volume. Imaginez donc une courbe qui est croissante, mais dont la croissance réduit progressivement et au dessus de laquelle on peut tracer une droite horizontale que la fonction ne dépassera jamais. La droite la plus "basse" que l'on peut tracer est sa limite ; si on la traçait plus bas, il existerait invariablement un point où elle croiserait notre courbe.

J'espère avoir été le plus clair possible ! :)

Sources: mon passage en prépa, puis en école d'ingénieurs, il y a quelques années.

a écrit : Il est aussi l’inventeur du Torr, unité de pression dont je n’ai pas l’équivalence en tête... très utilise au Japon et bien sûr en Italie. On le vois sur les cadrans de turbo des voitures suralimentés ;)

Édit : le Torr se définit en Mmhg et il est égal à 0,0133 bar !
Autant je connais très bien le mmhg autant personne ne m’a jamais appris que c’était appelé également un torr. Et du coup il est également utilisé sur les vieilles colonnes à mercure de jadis. JMCMB