L'étrange trompette de Gabriel

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La trompette de Gabriel est un solide mathématique inventé par le mathématicien italien Torricelli vers 1641, qui a la particularité d'avoir un volume fini mais une surface infinie. En d'autres termes, on peut la remplir avec un volume fini de peinture mais on ne pourra jamais la peindre !

Le nom fait allusion à la tradition d'identifier l'archange Gabriel à l'ange qui souffle dans la trompette pour annoncer le Jour du jugement, en associant l'infini et le divin


Tous les commentaires (75)

a écrit : Euh....... .....?? "Ce résultat déstabilise Descartes dans ses convictions sur l'infini et suscite un débat entre Hobbes et Wallis[3]" (article Wikipédia)

C'est en effet un concept assez surprenant !
Un autre dans le même genre mais plus simple à appréhender je pense :
Imaginer une boite de conserve d'un volume de 33cL avec des dimensions standards (une canette de soda par exemple). Son volume et sa surface sont bien finis pas de problème.
Maintenant prennez une boite de conserve d'un volume de 33cL toujours mais beaucoup plus étirée. On obtiendrait presque un long baton en quelque sorte. Son volume n'a pas changé mais sa surface elle a grandement augmentée.
Si on continue "d'étirer" cette boite de conserve en gardant son volume fixe on obtient un baton de plus en plus long mais de plus en plus fin. On fait tendre petit à petit sa surface vers l'infini alors que son volume reste fini.

Avec la trompette de Gabriel c'est bien plus complexe parce que la forme géométrique est plus compliquée (le volume n'est pas fixe comme dans mon exemple aussi) mais le principe est assez similaire :)

Ps : d'ailleurs les boites de conserve (similaires à des cylindres) que l'on trouve partout n'ont pas ces dimensions par hasard ! Il s'agit en effet de l'optimisation de la surface pour obtenir un volume donnée. Autrement dit on essaye d'avoir la plus petite surface (et donc un coût en matières premières le plus faible) avec un volume requis.

J'aime les maths :)

Je me permet d'ajouter une énième explication plus philosophique, que j'espère plus simple pour les néophytes :

Si cet objet nous paraît paradoxal, c'est parce que pour notre cerveau, une surface ça n'existe pas vraiment : une feuille a toujours une épaisseur, un territoire une profondeur de terre.

En mathématique, ce n'est pas le cas : ainsi, vous ne pourrez pas peindre votre trompette avec la peinture qui la remplît. Il vous faudra acheter une autre peinture, étiquetée "sans épaisseur, spécial aire". Présenter le paradoxe comme ça est trompeur, en nous faisant croire que c'est la même peinture. En maths, volume et aire sont deux concepts véritablement différents, les comparer n'a pas de sens.

Enfin, si on "force" le concept d'aire à coller à notre intuition, le paradoxe ne tient plus : si on peint la trompette par l'intérieur avec une peinture à épaisseur, il arrivera un moment où le goulot sera trop petit, et on ne pourra plus peindre.*

*j'emprunte cet explication à un autre commentaire

J’adore la communauté qui fréquente cette appli !

Le texte initial était incompréhensible, mais tout le monde s’est donné du mal pour comprendre, expliquer, donner son point de vu mathématique, physique, historique, théologique, philosophique à la chose pour lui donner du sens...

C’est extrêmement enrichissant de fréquenter tout le monde ici :)

Merci beaucoup, vous tous !

Je trouve assez étonnant par ailleurs que l’autre appli, se coucher moins bête image, fédère beaucoup moins une communauté de réflexion. Est-ce le hasard, ou le fait que les images génèrent moins de réflexion ou d’échange que des textes.
Je trouve ça étonnant.

a écrit : Tu pourrais jeter un coup d'oeil aux sources pour mieux comprendre ce paradoxe, mais franchement, à moins d'être amateur de mathématiques, ça n'aide pas vraiment à faciliter la compréhension. Pour une fois, la formulation de l'anecdote est la plus claire possible pour le commun des mortels.
C
e paradoxe avait suscité beaucoup de débats entre de grands mathématiciens de l'époque, autant dire qu'il n'est pas accessible à tous... Afficher tout
Non je suis pas d’accord c’est pas non plus incompréhensible .. dire que c’est pas accessible à tous tu y vas fort.

Je n'ai pas compris le concept.
Il me semble que ni le volume, ni la surface ne peuvent être finis.

Cette trompette n'a pas de "fond", donc si la trompette tourne autour de l'axe (Ox),
alors son rayon r, qui correspond à la projection orthogonale d'un point de la surface extérieure de la trompette sur l'axe des abscisses, tend vers 0 mais reste TOUJOURS POSITIF quand x tend vers l'infini... donc le volume ET la surface sont tous 2 infinis, je me trompe?

a écrit : Si ça peut aider certains à comprendre, on peut ramener ce problème à un espace à 2 dimensions. Souvenons-nous de vos cours de math. La courbe e^x (exponentielle) tend vers 0 quand x tend vers - l'infini (on peut taper "courbe exponentielle" dans Google Images si ça peut aider).
Si on prend la sur
face comprise entre cette courbe, l'axe des absisses, et l'axe des ordonnées, on obtient un périmètre infini (puisque la courbe continue à l'infini vers la gauche), mais une surface finie! Car la propriété de cette courbe est d'avoir une intégrale finie.
On pourrait parler de peinture si on veut, mais pas besoin d'évoquer l'épaisseur ou quoi que ce soit. C'est simplement qu'on a une surface finie délimitée par un périmètre infini.
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Je n'ai pas compris le concept dans ce cas précis...
Alors on va ressortir les souvenirs de Term S haha...

Cette trompette n'a pas de "fond", donc si la trompette tourne autour de l'axe (Ox),
alors son rayon r, qui correspond à la projection orthogonale d'un point de la surface extérieure de la trompette sur l'axe des abscisses, tend vers 0 mais reste TOUJOURS POSITIF quand x tend vers l'infini... donc le volume ET la surface sont tous 2 infinis, je me trompe?

a écrit : Il faut quand même bien comprendre que quand un mathématicien construit de tels objets, il le fait à travers des concepts qui sont propres au mathématiques et ne se transposent pas toujours au monde physique.

Les mathématiciens savent découper des choses à l'infini, chose qu'un physicien juge
impossible. Le mathématicien sait aussi très bien couper une boule en morceau et, avec ces morceaux, former deux nouvelles boules chacune identiques à la première :

fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Banach-Tarski

De ces bizarreries, nous ne devons évidemment pas penser en tirer un intérêt pratique, ni même mathématiques, mais métaphysique (ou métamathématique). Comme à chaque fois lorsque les mathématiciens ont tenté de chercher des cas pathologiques (ça a commencé avec les fonctions continues partout mais dérivable nulles part), le but était de montrer à quel point les concepts qu'ils manipulent peuvent ne pas être de très bons modèles de ce qui existe physiquement puisqu'ils conduisent à des contradictions, non au sein des mathématiques, mais de leur interprétation.
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Merci pour ce complément d’information.
Cela m’a bien éclairée !

a écrit : Haaa merci beaucoup pour l’explication !!

Au départ je pensais que c’était une sorte de fractale mais ça me semblait très tôt dans l’Histoire pour voir apparaître ce genre de structures.

Du coup, je comprend mieux.
C’est ce qu’on appelle la convergence en Math.

Je vais essay
er d’expliquer :

La convergence, c’est quand la somme d’une infinité de nombres peut donner un résultat qui n’est pas infini. Il y a donc une infinité d’addition, mais le total n’est pas infini.

C’est l’incompréhension de ce phénomène qui a donné naissance au célèbre paradoxe d’Achille.
On tire une flèche sur Achille, mais avant d’arriver à sa cible, elle devra parcourir la moitié du chemin. Puis encore la moitié du chemin restant, puis encore la moitié du chemin restant etc...
Il y a donc une infinité d’addition de temps mis pour parcourir ces distances.

Mais comme le temps de chaque élément raccourci très vite, la somme totale de ces infinité de morceau de temps reste un nombre normal, pas infini.

Pour qu’une fonction converge, il faut qu’elle décroisse assez vite.
( que chacun des éléments ajoutés deviennent de plus en plus petits, très rapidement )
Si ça décroît très vite, ça converge, si ça ne décroît pas assez vite, ça donnera un nombre infini.


Or le volume décroît grossi modo comme le rayon au cube, alors que la surface décroît comme le rayon au carré.
Donc le volume décroît beaucoup plus vite que la surface. (Je vulgarise, pour les puristes)

(Un volume, c’est toujours la multiplication de trois dimensions, alors que la surface c’est toujours la multiplication de 2 dimensions. Et une courbe au cube est toujours plus décroissante qu’une courbe au carré )

Donc avec une certaine forme, on peut s’arranger pour que la surface ne converge pas, alors que le volume converge.

C’est ça l’idée.
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C’est l’explication la plus plausible et rationnelle ( et explicite !!!...) que j’ai pu lire dans toutes ces tentatives relatées jusqu’à présent . Merci d’avoir développer sans bourrage de tronche.

a écrit : Logiquement plus un espace est étroit et plus un liquide, de par sa structure moléculaire, a du mal a "passer", surtout quand le volume tends vers l’infiniment petit. Pas si sur que ca...

a écrit : Voilà ce que j'ai compris en lisant les sources et qui, à mon sens, explique le paradoxe:

- la trompette a une longueur infinie, l'une de ses extrémités, celle qui devient de plus en plus petite, se déploie à l'infini, il y aura donc toujours quelque chose à peindre à l'extérieur

-mais si on couvre de peinture la surface intérieure, on devra à un moment s'arrêter en s'enfonçant dans l'extrémité infinie qui devient de plus en plus étroite car la peinture à une certaine épaisseur, qui elle est finie.

Si quelqu'un a une meilleure compréhension du phénomène...
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C’est exactement ce que j’ai compris également. En fait c’est tout con, il n’y a pas grand chose à comprendre... si on considère l’épaisseur de la peinture... je trouve ça étonnant que dans un théorème mathématique on considère l’épaisseur de la peinture ce qui forcément pose un problème dans l’infiniment petit.
Donc si on dit que l’épaisseur e de la peinture est égale à 0 alors dans ce cas ce paradoxe est incorrect et il faudrait une infinité de peinture pour peindre une infinité de surface. Bref vous me suivez? Si je me trompe corrigez-moi!

a écrit : Je me permet d'ajouter une énième explication plus philosophique, que j'espère plus simple pour les néophytes :

Si cet objet nous paraît paradoxal, c'est parce que pour notre cerveau, une surface ça n'existe pas vraiment : une feuille a toujours une épaisseur, un territoire une profonde
ur de terre.

En mathématique, ce n'est pas le cas : ainsi, vous ne pourrez pas peindre votre trompette avec la peinture qui la remplît. Il vous faudra acheter une autre peinture, étiquetée "sans épaisseur, spécial aire". Présenter le paradoxe comme ça est trompeur, en nous faisant croire que c'est la même peinture. En maths, volume et aire sont deux concepts véritablement différents, les comparer n'a pas de sens.

Enfin, si on "force" le concept d'aire à coller à notre intuition, le paradoxe ne tient plus : si on peint la trompette par l'intérieur avec une peinture à épaisseur, il arrivera un moment où le goulot sera trop petit, et on ne pourra plus peindre.*

*j'emprunte cet explication à un autre commentaire
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Personnellement, l'explication mathématiques me convient bien mieux que celle de la peinture qui embrouille l'esprit.
Le commentaire parlant de la courbe exponentielle entre ]-l'infini;0] (surface sous la courbe et longueur de la courbe) permet je trouve de comprendre l'anecdote le plus simplement.

a écrit : Haaa merci beaucoup pour l’explication !!

Au départ je pensais que c’était une sorte de fractale mais ça me semblait très tôt dans l’Histoire pour voir apparaître ce genre de structures.

Du coup, je comprend mieux.
C’est ce qu’on appelle la convergence en Math.

Je vais essay
er d’expliquer :

La convergence, c’est quand la somme d’une infinité de nombres peut donner un résultat qui n’est pas infini. Il y a donc une infinité d’addition, mais le total n’est pas infini.

C’est l’incompréhension de ce phénomène qui a donné naissance au célèbre paradoxe d’Achille.
On tire une flèche sur Achille, mais avant d’arriver à sa cible, elle devra parcourir la moitié du chemin. Puis encore la moitié du chemin restant, puis encore la moitié du chemin restant etc...
Il y a donc une infinité d’addition de temps mis pour parcourir ces distances.

Mais comme le temps de chaque élément raccourci très vite, la somme totale de ces infinité de morceau de temps reste un nombre normal, pas infini.

Pour qu’une fonction converge, il faut qu’elle décroisse assez vite.
( que chacun des éléments ajoutés deviennent de plus en plus petits, très rapidement )
Si ça décroît très vite, ça converge, si ça ne décroît pas assez vite, ça donnera un nombre infini.


Or le volume décroît grossi modo comme le rayon au cube, alors que la surface décroît comme le rayon au carré.
Donc le volume décroît beaucoup plus vite que la surface. (Je vulgarise, pour les puristes)

(Un volume, c’est toujours la multiplication de trois dimensions, alors que la surface c’est toujours la multiplication de 2 dimensions. Et une courbe au cube est toujours plus décroissante qu’une courbe au carré )

Donc avec une certaine forme, on peut s’arranger pour que la surface ne converge pas, alors que le volume converge.

C’est ça l’idée.
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Autant tu t'étais gouré l'autre jour, autant tu as ici fourni l'une des meilleures explications possibles à une anecdote.

a écrit : Donne une vuvuzela à Louis Armstrong, je ne suis pas certain qu'il arrivera à te faire swinger... Et pourquoi pas?

Déjà, pourquoi Armstrong aurait-il besoin d'un instrument?
Dans le cas d'une trompette, ce n'est pas l'instrument qui produit le son mais bien le musicien lui-même.
Ensuite, avec une vuvuzela, il aurait une capacité limitée à varier les hauteurs de son; cependant, on peut faire swinguer avec une seule note, les percussionnistes le savent bien ;-)

Désolé pour le HS

a écrit : Et pourquoi pas?

Déjà, pourquoi Armstrong aurait-il besoin d'un instrument?
Dans le cas d'une trompette, ce n'est pas l'instrument qui produit le son mais bien le musicien lui-même.
Ensuite, avec une vuvuzela, il aurait une capacité limitée à varier les hauteurs de son; ce
pendant, on peut faire swinguer avec une seule note, les percussionnistes le savent bien ;-)

Désolé pour le HS
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Je paierais bien pour voir ça :)
Très bonne remarque sur le son produit par la bouche d'ailleurs.

a écrit : Et Francois Pérusse a dit :
"Il est rare de voir un contrebassiste nain, surtout quand il est derrière sa contrebasse."
Il a aussi dit que le mot "violoncelle" ne doit jamais être suivi par la phrase "celle qui cour la moins vite"

a écrit : Haaa merci beaucoup pour l’explication !!

Au départ je pensais que c’était une sorte de fractale mais ça me semblait très tôt dans l’Histoire pour voir apparaître ce genre de structures.

Du coup, je comprend mieux.
C’est ce qu’on appelle la convergence en Math.

Je vais essay
er d’expliquer :

La convergence, c’est quand la somme d’une infinité de nombres peut donner un résultat qui n’est pas infini. Il y a donc une infinité d’addition, mais le total n’est pas infini.

C’est l’incompréhension de ce phénomène qui a donné naissance au célèbre paradoxe d’Achille.
On tire une flèche sur Achille, mais avant d’arriver à sa cible, elle devra parcourir la moitié du chemin. Puis encore la moitié du chemin restant, puis encore la moitié du chemin restant etc...
Il y a donc une infinité d’addition de temps mis pour parcourir ces distances.

Mais comme le temps de chaque élément raccourci très vite, la somme totale de ces infinité de morceau de temps reste un nombre normal, pas infini.

Pour qu’une fonction converge, il faut qu’elle décroisse assez vite.
( que chacun des éléments ajoutés deviennent de plus en plus petits, très rapidement )
Si ça décroît très vite, ça converge, si ça ne décroît pas assez vite, ça donnera un nombre infini.


Or le volume décroît grossi modo comme le rayon au cube, alors que la surface décroît comme le rayon au carré.
Donc le volume décroît beaucoup plus vite que la surface. (Je vulgarise, pour les puristes)

(Un volume, c’est toujours la multiplication de trois dimensions, alors que la surface c’est toujours la multiplication de 2 dimensions. Et une courbe au cube est toujours plus décroissante qu’une courbe au carré )

Donc avec une certaine forme, on peut s’arranger pour que la surface ne converge pas, alors que le volume converge.

C’est ça l’idée.
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Par contre il n’y a pas « une infinité d’additions » l’addition est définie pour un nombre fini de termes, il s’agit d’une limite de suite

Bon ! Je vais chercher un aspirine et je reviens pour essayer de comprendre.

a écrit : Voilà ce que j'ai compris en lisant les sources et qui, à mon sens, explique le paradoxe:

- la trompette a une longueur infinie, l'une de ses extrémités, celle qui devient de plus en plus petite, se déploie à l'infini, il y aura donc toujours quelque chose à peindre à l'extérieur

-mais si on couvre de peinture la surface intérieure, on devra à un moment s'arrêter en s'enfonçant dans l'extrémité infinie qui devient de plus en plus étroite car la peinture à une certaine épaisseur, qui elle est finie.

Si quelqu'un a une meilleure compréhension du phénomène...
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Cool, j'avais intuitivement compris. J'espère que c'est la bonne interprétation.