L'étrange trompette de Gabriel

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La trompette de Gabriel est un solide mathématique inventé par le mathématicien italien Torricelli vers 1641, qui a la particularité d'avoir un volume fini mais une surface infinie. En d'autres termes, on peut la remplir avec un volume fini de peinture mais on ne pourra jamais la peindre !

Le nom fait allusion à la tradition d'identifier l'archange Gabriel à l'ange qui souffle dans la trompette pour annoncer le Jour du jugement, en associant l'infini et le divin


Tous les commentaires (75)

a écrit : Terricelli est aussi à l’origine d’une loi permettant de calculer la vitesse d’écoulement d’un fluide par un orifice en fonction de la hauteur d’eau au-dessus de celui-ci.
Problème de la baignoire qui se vide par exemple.

Je suis ingénieur hydraulicien et j’utilise parfois la formule mathématique associée.
Racine carrée de 2*g*hauteur ?

a écrit : Il a aussi dit que le mot "violoncelle" ne doit jamais être suivi par la phrase "celle qui cour la moins vite" Je crois que c'est juste "qui cour la moins vite".

J’ai bien compris le rapport avec l’archange Gabriel et la trompette mais alors le reste... j’ai beau relire... ça me dépasse

Et du coup personne pour m'éclairer quant à ma question SVP?
Suis-je le seul féru de maths ici? :(

a écrit : Ce n'est pas toi qui te trompe, c'est l'infini qui te trompe.

Comme l'a essayé d'expliquer la personne que tu citais dans ton message avec un exemple en deux dimensions, en maths on peut mettre du fini dans de l'infini et de l'infini dans du fini.

Si cet
te trompette a bien un volume infini, ce n'est qu'à cause de la façon dont les mathématiciens calculent un volume et de la façon dont ils définissent l'infini dans ce contexte. Si tu veux te persuader que cette trompette a bien un volume fini, tu ne pourras le faire en restant sur la géométrie apparente (et biaisée) de cette trompette, il faudra mettre la main à la patte et faire des calculs. Afficher tout
Il fallait lire "si cette trompette a bien un volume FINI"

a écrit : Je n'ai pas compris le concept dans ce cas précis...
Alors on va ressortir les souvenirs de Term S haha...

Cette trompette n'a pas de "fond", donc si la trompette tourne autour de l'axe (Ox),
alors son rayon r, qui correspond à la projection orthogonale d'un po
int de la surface extérieure de la trompette sur l'axe des abscisses, tend vers 0 mais reste TOUJOURS POSITIF quand x tend vers l'infini... donc le volume ET la surface sont tous 2 infinis, je me trompe? Afficher tout
Ce n'est pas toi qui te trompe, c'est l'infini qui te trompe.

Comme l'a essayé d'expliquer la personne que tu citais dans ton message avec un exemple en deux dimensions, en maths on peut mettre du fini dans de l'infini et de l'infini dans du fini.

Si cette trompette a bien un volume infini, ce n'est qu'à cause de la façon dont les mathématiciens calculent un volume et de la façon dont ils définissent l'infini dans ce contexte. Si tu veux te persuader que cette trompette a bien un volume fini, tu ne pourras le faire en restant sur la géométrie apparente (et biaisée) de cette trompette, il faudra mettre la main à la patte et faire des calculs.

Cette affirmation est totalement erronée ! La trompette de Gabriel peut parfaitement être peinte. En revanche, elle ne peut pas l’être avec une couche de peinture d’épaisseur uniforme. C’est tout, il n’y a pas le moindre paradoxe !

a écrit : Cette affirmation est totalement erronée ! La trompette de Gabriel peut parfaitement être peinte. En revanche, elle ne peut pas l’être avec une couche de peinture d’épaisseur uniforme. C’est tout, il n’y a pas le moindre paradoxe ! Tu as donc de la peinture à l’infini chez toi. Si tu peux nous en passer, ça m’arrange parce qu’en magasin c’est pas donnée.

C'est l'ange ISRAFIL qui soufflera dans la trompette et non pas l'ange GABRIEL

Le problème de compréhension est dû au fait qu'on fait cohabiter la peinture (qui est un objet réel) avec un solide abstrait (qui ne peut pas exister dans notre monde réel du fait de ses dimensions infinies).
Ce qu'il faut retenir, c'est que ce solide mathématique (non-modelisable physiquement) a une aire infinie mais un volume fini. Point barre.
Et la peinture, vous la laissez dans son pot réel.

En fait c'est très simple,

Imaginez un entonnoir avec au bout, un très très long tuyaux très fin de la taille d'un cheveux.
Maintenant, faisons l'analogie entre des grains de sable représentant le volume.
Si vous remplissez l'entonnoir avec les grains de sable, il vont en effet remplir l'entonnoir, mais seulement quelques grains vont réussir à se loger près du tuyau fin, mais la longueur du tuyau étant infini, sa surface est forcément infini.

a écrit : Personnellement, l'explication mathématiques me convient bien mieux que celle de la peinture qui embrouille l'esprit.
Le commentaire parlant de la courbe exponentielle entre ]-l'infini;0] (surface sous la courbe et longueur de la courbe) permet je trouve de comprendre l'anecdote le plus simplement.
Mon explication était dirigée vers les véritables néophytes, qui n'ont pas les connaissances classiques de lycée en maths fortes (qui souvent ont des mauvais souvenirs des maths et ne veulent pas s'y replonger).

Bien sûr, je redirige quiconque qui a ces connaissances vers les autres commentaires, ou même les sources directement (en particulier comme vous parlez d'exponentielle, vous n'étiez pas le public cible, donc vous faites bien d'ignorer mon commentaire !).

a écrit : Je n'ai pas compris le concept dans ce cas précis...
Alors on va ressortir les souvenirs de Term S haha...

Cette trompette n'a pas de "fond", donc si la trompette tourne autour de l'axe (Ox),
alors son rayon r, qui correspond à la projection orthogonale d'un po
int de la surface extérieure de la trompette sur l'axe des abscisses, tend vers 0 mais reste TOUJOURS POSITIF quand x tend vers l'infini... donc le volume ET la surface sont tous 2 infinis, je me trompe? Afficher tout
En fait, une somme* infinie d'éléments strictement positifs peut être finie (c'est le nœud de votre incompréhension je pense).

Un exemple simple : la somme infinie de 1/(2^n), pour n allant de 1 à l'infini. Cette somme fait 1, et on peut s'en convaincre en observant que si vous allez d'une ville à une autre (on pose qu'elles sont à une distance 1 l'une de l'autre), vous faites d'abord la moitié du trajet, puis la moitié de la moitié qu'il vous reste à faire, puis la moitié de ce qui reste, et ainsi de suite (C'est la paradoxe de Zénon). N'hésitez pas à me questionner encore si ce n'est pas clair !

Attention à certaines réponses, il me semble que l'explication de Dano est erronée par exemple.

*Les volumes et aires peuvent être vu, un peu abusivement peut-être, comme des sommes infinis (on les calcule d'ailleurs avec des intégrales)

De ce que j'ai compris de la page Wikipedia, en fait le solide est basé sur une équation hyperbolique y = 1/x, quand x tends vers l'infini (donc surface extérieure infinie) y tend vers 0, et en fait il a été prouvé que son volume intérieur lui est bien fini (puisque y tend vers 0 la trompette devient de plus en plus fine) et peut donc être "rempli"